Выполнили: Тимошкин Иван, Никитин Никита, Кривобатова Юля САРАНСК 2009 МОУ(средняя школа 40) - презентация

1 Выполнили: Тимошкин Иван, Никитин Никита, Кривобатова Юля САРАНСК 2009 МОУ(средняя школа 40)

2 Тема 1. Центральная симметрия.Центральная симметрия Тема 2. Осевая симметрия.Осевая симметрия Тема 3. Зеркальная симметрия.Зеркальная симметрия Тема 4. Параллельный перенос.Параллельный перенос

3 Определение 1. Точки A и A 1 называются симметричными относительно точки О, если точки A, A 1, O лежат на одной прямой и OX = OX 1. Точка О считается симметричной сама себе (относительно О). Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно. Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О, тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура центрально-симметричной. 2. Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О. Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X 1 и Y 1, что X 1 Y 1 = -XY.

4 Доказательство Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X 1 и Y 1. Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX 1 = -OX, OY 1 = -OY. Вместе с тем XY = OY - OX, X 1 Y 1 = OY 1 - OX 1. Поэтому имеем: X 1 Y 1 = -OY + OX = -XY. Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия. Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А 1, то центр симметрии это середина отрезка AA 1.

5 Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180°. При повороте вокруг прямой а на 180° каждая точка A переходит в такую точку A 1, что прямая a перпендикулярна отрезку AA 1 и пересекает его в середине. Про такие точки A и A 1 говорят, что они симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180 градусов вокруг прямой называется осевой симметрией в пространстве.

6 Определение 1. Точки A и A 1 называются симметричными относительно плоскости, если отрезок AA 1 перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости считается симметричной самой себе относительно этой плоскости. Две фигуры F и F 1 называются симметричными относительно данной плоскости, если они состоят из точек, попарно симметричных относительно этой плоскости, т.е. если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре. Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости (а плоскость плоскостью симметрии).

7 2. Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией). Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением. См. Доказательство.Доказательство Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением. Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему.

8 Определение Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния, т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X 1 и Y 1, что XX 1 = YY 1. Основное свойство переноса: Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е. X 1 Y 1 = XY. Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос. Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос. Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A 1 переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA 1, и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX 1 = AA 1 для всех точек Х.