Квадратные корни Оглавление: 1. Задача о нахождении стороны квадрата Задача о нахождении стороны квадрата 2. Иррациональные числа Иррациональные числа 3. Теорема Пифагора Теорема Пифагора 4. Квадратный корень Квадратный корень 5. Свойства квадратных корней Свойства квадратных корней 6. Преобразование выражений, содержащих Преобразование выражений, содержащих квадратные корни 7. Кубический корень Кубический корень 8. Задания Задания 9. Для тех, кому интересно Для тех, кому интересно

Задача о нахождении стороны квадрата а а S=а² S=а В начало Если известна площадь, но не известна сторона квадрата, то её можно найти по формуле : Если сторона квадрата равна а, то его площадь S можно вычислить по формуле: а 64 а а =64=8

S- это не отрицательное число, квадрат которого равен S Знак называют знаком квадратного корня или радикалом, а выражение S читается так: квадратный корень из S Пример: S=64, тогда а=64, т.к.64=8²,то 64=8 извлекаем Таким образом, мы извлекаем квадратный корень из S В начало

Таблица корней В начало

Иррациональные числа Нет ни целых, ни дробных чисел, квадраты которых равны 2,3,5,6,7,8,10…и т.д. Пример: В начало Иррациональные числа невозможно представить в виде дроби a/b, где a ε Z, b ε N. Более 20 веков тому назад к этому выводу пришли математики Древней Греции, что вызвало кризис в математической науке: СТОРОНА У КВАДРАТА ЕСТЬ, А ДЛИНЫ У НЕЁ НЕТ! Но математики нашли выход из этой ситуации. Так появились новые числа, а назвали их иррациональными. Латинская приставка ir –означает отрицание. Длина стороны квадрата, площадь которого равна 2,выражается иррациональным числом. Используя формулу a=S, можно записать, что a=2.

Иррациональные числа, так же как и рациональные, могут быть и отрицательными. Отрицательное число из соответствующего положительного приписыванием к нему знака «минус», Например: - 2, - 3, Рациональные и иррациональные числа вместе образуют так называемое множество действительных чисел. С действительными числами можно выполнять арифметические действия – сложение, вычитание, умножение и деление. При этом остаются верными все свойства арифметических действий – оба переместительных, оба сочетательных и распределительное. Обратно

Таблица приближённых значений nn nn nn nn n 1162,4113, ,4 72,6123,4174,1 31,782,8133,6184, ,7194,3 52,2103,1153,8204,4 В начало

Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Доказательство: c²=a²+b² с²=(a+b)²-4*ab/2 Т.к. (a+b)²-4*ab/2=a²+2ab+b²- 2ab = =a²+b², то c²=a²+b² В начало Пример а а b b b а а b сс сс

Квадратный корень. Число a называют квадратным корнем из числа b, если а²=b Примеры В начало 1. Если а>0, то x²=a имеет два корня: a, -a 2. Если а=0, то х²=a имеет один корень: 0 3. Если a<0, то х²=a корней не имеет Нельзя не обратить внимания и на совпадение в терминах – квадратный корень и корень уравнения. Уравнения вида x²=a исторически были первыми «сложными» уравнениями, и их решения были названы корнями – возможно, по метафоре, что из стороны квадрата, как из корня, вырастает сам квадрат. Этот термин стал употребляться в дальнейшем и для произвольных уравнений. Происхождение символа связывают с рукописным написанием латинской буквы r.

Примеры: 1.x²=25 x= 25 x= 5 2.y²=0,81 y= 0,81 y= 0,9 3.3z²=24 z²=24/3 z²=8 z= = =(3+8)7= =117 Обратно

Свойства квадратных корней 1. Если a0 и b0, то (ab)=a*b 2. Если a0 и b>0, то (a/b)=a/b 3.x²=|x| 4.(x)²=x В начало Примеры

Примеры: (11²*15²)=(11*15)²=11*15=165 или (11²*15²)=11²*15²=11*15=165 Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел Обратно

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни =9*2-16*2+4*2= = =(3-4+2)2=2 В начало В каждом слагаемом можно вынести множитель из-под знака корня : (2+23)(23-2)=(23)²-(2)²=4*3-2=10 Можно использовать формулы сокращенного умножения:

Кубический корень Число b называют кубическим корнем из числа a, если b³=a Пример: ³8=2, т.к 2³=8 1. Если a>0, то ³a>0 2. Если a=0, то ³a=0 3. Если a<0, то ³a<0 В начало 0,001= 0,1, так как (0,1)³=0,001

Для тех, кому интересно Двойные радикалы Двойные радикалы (11-62) = (3-2)² = 9-62+(2)² = В начало Примеры

Примеры: 1.(9+45) (2+5)² = |2+5| = (17-122) (3-22)² = (3-22)² = |3-22| = 3-22 Обратно

Двойным радикалом называют выражение вида (а+bс), где а, b, с – целые числа. Отметим, что это не «настоящий» математический термин, а чисто рабочее название, употребляющееся в разговорном математическом языке. При этом считается, конечно, что из числа с корень не извлекается, или, говоря более точно, число с не является квадратом натурального числа. Двойной радикал обычно пытаются записать более просто, например, в том же виде, что и подкоренное выражение, т.е. в виде х+ус, где х и у – целые числа. Так ( ) = В самом деле, (3 - 2)² = (2)² = Однако мы здесь имели, по существу, готовый ответ, и совершенно не ясно, как он получен. А найти решение можно следующим образом. Наша задача – записать выражение (11-62), если это возможно, в виде х+у 2, где х и у – целые числа. Поэтому мы запишем равенство: ( ) = х + у 2 и попытаемся подобрать такие целые числа х и у, чтобы оно было верным. Это равенство можно переписать так: = (х+у 2)², = х² + 2 ху у², = (х²+2 у²)+2 ху 2. Отсюда видно, что достаточно подобрать такие целые числа х и у, чтобы выполнялись равенства х² + 2 у² = 11, 2 ху = - 6. Обратно

Пример 1 Найдём В таблице квадратов можно подобрать двузначное число. 2304=48². Значит: 2304=48²=48. Пример 2 Найдём Разложим число на множители. Т.к =2²×9²×7²=(2×9×7)², то 15876=(2×9×7)²=2×9×7=126 Если а>0, b>0 и а<b, то а²<b² Возьмём 42 6²=36, 7²=42 значит 6<42<7 6²<42<7² Обратно

Пифагор Самосский (6 в. До н. э.) Древнегреческий философ, религиозный и политический деятель, основатель пифагореизма, математик. Пифагору приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, теоремы Пифагора. Теорема Пифагора – одно из самых знаменитых положений геометрии. Известно, что эта теорема в той или иной форме использовалась всеми древними народами. Обратно

Пример: Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 и 4. Из формулы c²=a²+b² выразим гипотенузу c: c=(a²+b²). Подставив значения a и b, получим: c=(3²+4²)=(9+16)=25=5. Таким образом, если катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, то его гипотенуза равна 5. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 использовался ещё в Древнем Египте для построения прямого угла и с тех пор его называют египетским треугольником. Обратно

1. Найдите значение выражения: а)81; б)9/16; в)0,64 2,Найдите значение выражения 2 у² - 3 при у= Чему равно расстояние между домами А и В, расположенными на двух взаимно перпендикулярных улицах, если дом А расположен в 2 км от перекрестка, а В – в 1,5 км от этого же перекрестка? 4. Вынесите множитель из-под знака корня:0, Сравните числа: а)26 и 62; б)234 и 16; в) - 5 и - 6. В начало