Метод парабол для исследования квадратных трехчленов с параметрами Я слышу – я забываю, Я вижу – я запоминаю, Я делаю – я понимаю. Китайская пословица.

х х 1 х 1 х 2 х 2 М х х 1 х 1 х 2 х 2 М х х 1 х 1 х 2 х 2 М

1.Форму- литровка 2. Условия х Для того, чтобы корни уравнения удовлетворяли соотношениям: Необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств: х PM х 1 х 1 х 2 х 2 х PM х 1 х 1 х 2 х 2 х PM х 1 х 1 х 2 х 2 PM х 1 х 1 х 2 х 2 ХВХВ

0D x м P 3. 0(M)(M) f, 0(P) f 0 (M)(M)af, 0 (P)af 3. f, 0(M)(M) f, 0 (P)af 0 (P) 0 (M)(M)af 0 м х P х 0 м P 0)2 a

Для того, чтобы корни уравнения принадлежали интервалу (M;P), необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств: 0D 0 (P)af 0 (M)(M)af 0 x м P

1.Форму- литровка 2. Условия х Для того, чтобы корни уравнения удовлетворяли соотношениям: Необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств: х PM х 1 х 1 х 2 х 2 х PM х 1 х 1 х 2 х 2 х PM х 1 х 1 х 2 х 2 PM х 1 х 1 х 2 х 2 ХВХВ

х PM х 1 х 1 х 2 х 2 y Для того чтобы, корни уравнения удовлетворяли соотношению,необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система неравенств: PM х 1 х 1 х 2 х 2 y х

1.Форму- литровка 2. Условия х Для того, чтобы корни уравнения удовлетворяли соотношениям: Необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств: х PM х 1 х 1 х 2 х 2 х PM х 1 х 1 х 2 х 2 х PM х 1 х 1 х 2 х 2 PM х 1 х 1 х 2 х 2 ХВХВ

a) a>0b) a<0 М < x1< P < x2 PM MP

Итак, для того, чтобы меньший корень уравнения f (x) = 0 принадлежал интервалу (М;Р), а больший не принадлежал, необходимо и достаточно выполнить следующую систему неравенств:

1.Форму- литровка 2. Условия х Для того, чтобы корни уравнения удовлетворяли соотношениям: Необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств: х PM х 1 х 1 х 2 х 2 х PM х 1 х 1 х 2 х 2 х PM х 1 х 1 х 2 х 2 PM х 1 х 1 х 2 х 2 х PM х 1 х 1 х 2 х 2 PM х 1 х 1 х 2 х 2 ХВХВ

yy xx1 х 2 M х 2 х 2 x х 1 M P P F(M) F(P) F(M) F(P) A>0 А<0

A>0 x y x1x2 M х 2 х 2 x y х 1 х 1 MPP F(M) F(P) F(M) F(P) A<0 A>0, F(M)<0 следовательно AF(M)<0 A>0,F(P)>0 следовательно AF(P)>0 A 0 следовательно AF(M)<0 A 0

y y A>0 A<0 A>0, F(M)<0 следовательно AF(M)<0 A>0,F(P)>0 следовательно AF(P)>0 A 0 следовательно AF(M)<0 A 0 Вывод: Для того чтобы больший корень уравнения F(X)=0 принадлежал интервалу (M; P), а меньший не принадлежал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система; AF(M)<0, AF(P)>0. xx1x2 M x x1 M P P F(M) F(P) F(M) F(P)

1.Форму- литровка 2. Условия х Для того, чтобы корни уравнения удовлетворяли соотношениям: Необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств: х PM х 1 х 1 х 2 х 2 х PM х 1 х 1 х 2 х 2 х PM х 1 х 1 х 2 х 2 PM х 1 х 1 х 2 х 2 ХВХВ

х 1 х 1 х 2 х 2 ВАМР х

м P А В 0)2 a 0 А х В МР х 0 м P АВ

Для того, чтобы один корень уравнения принадлежал интервалу (А;М), а другой – интервалу (Р;В) (М<Р), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись система неравенств: 0 (В)(В)af 0 (А)(А)af 0 (P)af 0 (M)(M)af <

При каких k корни уравнения kx 2 -(k+1)x+2=0 а) оба корня по модулю меньше 1? б) разных знаков и по модулю больше 1? в) разных знаков и по модулю меньше 1?

При каких k оба корня kx 2 -(k+1)x+2=0 по модулю меньше 1?

Решение: Пусть f(x)=kx 2 -(k+1)x+2. Тогда парабола f(x) должна иметь один из следующих видов: Согласно случаю 2 из метода парабол, это равносильно системе неравенств: х 1 х 1 х 2 х 2 f(x) 1 х х 1 х 1 х 2 х 2 f(x) -11

При каких k уравнение kx 2 -(k+1)x+2=0 Имеет корни разных знаков и по модулю больше 1?

1 х 1 х 1 х 2 х 2 y 1 х 1 х 1 х 2 х 2 y х

При каких k уравнение kx 2 -(k+1)x+2=0 имеет корни разных знаков и по модулю меньше 1?

0 х 1 0 х 0 1

Я слышу – я забываю, Я вижу – я запоминаю, Я делаю – я понимаю. Китайская пословица.