з математики

Зміст презентації: 1.Історичні відомості про розвиток тригонометріїІсторичні відомості про розвиток тригонометрії 2.Означення тригонометричних функційОзначення тригонометричних функцій 3.Застосування графіків тригонометричних функційЗастосування графіків тригонометричних функцій 4.Найпростіші співвідношення між тригонометричними Функціями. Формули зведенняНайпростіші співвідношення між тригонометричними Функціями. Формули зведення 5.Властивості sin (х) i cos (х), побудова графіків цих функційВластивості sin (х) i cos (х), побудова графіків цих функцій 6.Графіки tg (х) i ctg (х), їхні властивостіГрафіки tg (х) i ctg (х), їхні властивості 7.ЗакінченняЗакінчення

Про розвиток тригонометрії Проблема рішення трикутників найраніше виникла в астрономії, і довгий час тригонометрія розвивалась і вивчалась як один із розділів астрономії. Відомо, що способи рішення трикутників (сферичних) вперше були запропоновані грецьким астрономом Гіппархом в середині 2 ст. до н. е. Найвищими досягненнями тригонометрія зобовязана астроному Птоломею (2 ст. до н. е. ), творцю геліоцентричної системи світу, що панувала до Коперника. Грецькі астрономи не знали синусів, косинусів і тангенсів. Замість таблиць цих величин вони використовували таблиці, які дозволяли знайти хорду кола по стягнутій дузі. Дуги вимірювались в градусах і хвилинах; хорди також вимірювались градусами (1 градус становив 60 – ту частину радіуса), хвилинами і секундами.

Походження слова синус досить цікаве. Придумавши це поняття, індуси називали довжину хорди, яка стягувала дану дугу, словом джива або джийя якою могла бути тетева мисливського лука. В арабській мові це слово, що звучало як джиба, перетворилось потім в джайб (араби не пишуть голосних букв), так що це не дивно. Слово ж джайб означає пазуха, тому перекладач арабського тексту на арабську мову перевів це слово:sinus- пазуха.

Означення sin x, cos x, tg x i ctg x Візьмемо прямокутний трикутник з гострим кутом Нехай с – гіпотенуза трикутника, с – гіпотенуза трикутника, а – катет, що лежить напроти кута (протилежний катет), в – прилеглий катет. B AC с а в sinx=a:c cosx=b:c tgx=a:b tgx=a:b сtgx =b:a α

Значення тригонометричних функцій для деяких кутів: sin cos tg ctg

Найпростіші співвідношення між тригонометричними ф-ціями:

Обчислення значень тригонометричних функцій довільного аргументу можна звести до обчислення значень для аргументу t, де. У такій ситуації можуть стати у пригоді ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ. Краще запамятати ці формули допоможе таке правило: назва функції не змінюється, якщо до аргументу додати або ж, і змінюється, якщо додати числа чи. Знак у правій частині рівності збігається зі знаком у лівій частині, якщо t задовольняє умову

Дослідження реальних процесів, які моделюються за допомогою тригонометричних функцій, практично зводиться до вивчення властивостей цих функцій і повязане з побудовою та аналізом їхніх графіків. Розглянемо функції у = sin(t) i y = cos(t). Властивість 1. Функції у = sin(t) i y = cos(t) визначені на всійчисловій осі Функції у = sin(t) i y = cos(t) визначені на всій числовій осі, так як кожному дійсному числу t поставлена у відповідність точка Р одиничного кола, а отже, й абсциса та ордината цієї точки, тобто косинус і синус числа t.

Властивість 2. Властивість 2. Функції у = sin(t) i y = cos(t) неперервні на всійчисловій осі. Функції у = sin(t) i y = cos(t) неперервні на всій числовій осі. При невеликій зміні значення t точка Р переміщується по одиничному колу на незначну відстань, а тому її координати sin(t) і cos(t) змінюються мало. Властивість 3. Властивість 3. Множиною значень функцій у = sin(t) i y = cos(t) є відрізок. Множиною значень функцій у = sin(t) i y = cos(t) є відрізок. Всі значення синуса і косинуса містяться між - 1 і 1. Оскільки при неперервному пере- міщенні точки по одиничному колу її про- екції на осі у та х неперервно переміщу- ються вздовж вертикального і горизон- тального діаметрів, то ф – ції у = sin(t) i y = cos(t) набуватимуть всіх значень з відрізка

Властивість 4. Областю визначення синуса і косинуса є вся числова вісь; sin (t + 2k ) = sin (t), cos (t + 2k ) = cos (t). Тому кожне із чисел 2k, k є, є періодом функцій у = sin(t) i y = cos(t). Функції у = sin(t) i y = cos(t) – періодичні з найменшим додатним періодом 2. Областю визначення синуса і косинуса є вся числова вісь; sin (t + 2k ) = sin (t), cos (t + 2k ) = cos (t). Тому кожне із чисел 2k, k є, є періодом функцій у = sin(t) i y = cos(t). Покажемо, що число 2 - найменший додатний період цих функцій. Функція у = sin(t) на відрізку перетворюється на нуль при t = 0, t =, t = 2 перетворюється на нуль при t = 0, t =, t = 2 і тільки при цих значеннях. Припустимо, що у синуса є додатний період, менший за 2. Ним може бути тільки число. Однак,,

Графік синуса Побудуємо графік функції у = sin (х) з використанням вже розглянутих властивостей синуса. Перш за все побудуємо цей графік на відрізку, довжина якого дорівнює періоду синуса. Розібємо цей відрізок на 16 рівних частин і побудуємо коло з центром у довільній точці осі абсцис. Для побудови точки з абсцисою t знайдемо на колі точку P і через неї проведемо пряму, паралельну осі абсцис, до перетину з прямою х = t. Побудувавши всі 1 6 точок і

Графік синуса, властивості сполучивши їх неперервною кривою, дістанемо ескіз графіка функції на відрізку. Зважаючи на періодичність синуса, можемо побудувати його графік і за межами цього відрізка. Побудований графік синуса називається синусоїдою. Розглянемо деякі інші властивості синуса і косинуса, проілюструвавши їх на графіках. Властивість 5. Функція у = sin (х) непарна, а функція y = cos (x) парна, тобто для кожного t Графік у = sin (х) симетричний відносно початку координат, графік y = cos (x) симетричний відносно осі ординат(рис. 2).

Функція у = sin (х) зростає на кожному з проміжків: і спадає на кожному з проміжків : Властивість 6: Функція y = cos (t) зростає на кожному з проміжків: і спадає на кожному з проміжків: (рис.2) Рис. 2

Функція у = sin (х) додатна на кожному з інтервалів і відємна на кожному з інтервалів Властивість 7. Функція у = соs (x) зростає на кожному з інтервалів І спадає на кожному з проміжків

Властивість 8. Найбільшого значення, що дорівнює 1 функція у = sin (t) набуває при, Найбільшого значення, що дорівнює 1 функція у = sin (t) набуває при, а найменшого значення, що дорівнює -1, при а найменшого значення, що дорівнює -1, при Функція y = cos (t) набуває найбільшого значення,що дорівнює 1, при, Функція y = cos (t) набуває найбільшого значення,що дорівнює 1, при, а найменшого значення, що дорівнює при а найменшого значення, що дорівнює -1, при

Дослідження функцій у = tg(x) і у = ctg(x) виконується за такою самою схемою, за якою досліджувались функції у = sin(t) i y = cos(t). Спочатку розглянемо властивості тангенса. Властивість 1. Функція у = tg(x) визначена при всіх дійсних значеннях х, крім Тобто, вона визначена при всіх значеннях х, крім тих, при яких знаменник виразу: дорівнює нулю.

Властивість 2. Ф ункція у = tg(x) неперервна при всіх значеннях аргументу, крім І Іншими словами, функція у = tg(x) має розрив у точках, в яких знаменник виразу перетворюється в нуль. Властивість неперервності функції тангенса також випливає з неперервності sin (x) i cos (x) та властивості неперервності частки двох неперервних функцій. Властивість 3. Множиною значень функції у = tg(x) є єє є множина всіх дійс- них чисел.

Функція у = tg(x) періодична з найменшим додатним періодом. Це й справді так, адже по – перше, область визначення функції у = tg(x) разом з кожною точкою х містить і х, а по – друге, оскільки для кожного х з області визначення тангенса, то - період функції у = tg(x). Третя обставина: оскільки для кожного х з області визначення тангенса, то - період функції у = tg(x). Третя обставина: оскільки tg(x), tg(x), перетворюється в нуль при х=0 або при х = і тільки в цих точках, то не існує додатного числа, меншого від, яке б могло бути періодом тангенса. перетворюється в нуль при х=0 або при х = і тільки в цих точках, то не існує додатного числа, меншого від, яке б могло бути періодом тангенса. Властивість 4. Властивість 4.

Властивість 5. Якщо і х наближається до, то відповідні значення tg(x) є додатними і необмежено зростають. Якщо ж і х наближається до, то відповідні значення tg(x) є відємни- ми і необмежено зростають за модулем. і х наближається до, то відповідні значення tg(x) є відємни- ми і необмежено зростають за модулем. Нехай n = 0. Якщо і х набли- жається до, то sin (x) наближається до одиниці, а cos (x) - до нуля, а тому набуватиме додат- них і як завгодно великих значень. набуватиме додат- них і як завгодно великих значень.

Побудуємо графік функції у = tg (x) на проміжку завдовжки, оскільки саме це число є найменшим додатним періодом тангенса. Наприклад, побудуємо графік на проміжку. Як і при побудові синусоїди, розібємо праву половину одиничного кола на достатньо велику кількість рівних частин (напр. на вісім ). Скориставшись лінією тангенса, побудуємо точки, які належать графіку функції у = tg(x) побудові синусоїди, розібємо праву половину одиничного кола на достатньо велику кількість рівних частин (напр. на вісім ). Скориставшись лінією тангенса, побудуємо точки, які належать графіку функції у = tg(x) Побудуємо графік функції у = tg (x) на проміжку завдовжки, оскільки саме це число є найменшим додатним періодом тангенса. Наприклад, побудуємо графік на проміжку. Як і при побудові синусоїди, розібємо праву половину одиничного кола на достатньо велику кількість рівних частин (напр. на вісім ). Скориставшись лінією тангенса, побудуємо точки, які належать графіку функції у = tg(x) побудові синусоїди, розібємо праву половину одиничного кола на достатньо велику кількість рівних частин (напр. на вісім ). Скориставшись лінією тангенса, побудуємо точки, які належать графіку функції у = tg(x)

РИС. 3

Так як ф-ція у = tg(x)періодична, то графік на всій прямій можна дістати за допомогою паралельного перенесення побудованого графіка вздовж осі х на ; і т. д. ( рис. 4 ). Графік функції tg (x) нази- вають тангенсоїдою. Так як ф-ція у = tg(x) періодична, то графік на всій прямій можна дістати за допомогою паралельного перенесення побудованого графіка вздовж осі х на ; і т. д. ( рис. 4 ). Графік функції tg (x) нази- вають тангенсоїдою. ( рис. 4 ) ( рис. 4 ) Властивість 6. Властивість 6. Функція у = tg ( x ) непарна. Справді, Функція у = tg ( x ) непарна. Справді, Графік функції у = tg (x) симетричний від- Графік функції у = tg (x) симетричний від- носно початку координат. носно початку координат.

Властивість 7. Властивість 7. Функція у = tg ( x ) зростає на кожному з інтервалів Цю властивість добре ілюструє графік (рис. 5), а також її можна встановити за допомогою лінії тангенса. Цю властивість добре ілюструє графік (рис. 5), а також її можна встановити за допомогою лінії тангенса. Властивість 8. Властивість 8. Функція у = tg ( x ) додатна на кожному з інтервалів Функція у = tg ( x ) додатна на кожному з інтервалів і відємна на кожному з і відємна на кожному з інтервалів і перетворю - ється в нуль при. інтервалів і перетворю - ється в нуль при. РИС. 5

Властивість 1. Функція у=ctg(x) визначена при всіх дійсних значеннях х, крім Функція у=ctg(x) визначена при всіх дійсних значеннях х, крім Властивість 2. Функція у = ctg ( x) неперервна при всіх значеннях х, крім Функція у = ctg ( x) неперервна при всіх значеннях х, крім Властивість 3. Функція у=ctg(x) періодична з найменшим додатним періодом Функція у=ctg(x) періодична з найменшим додатним періодом Властивість 4. Функція у=ctg(x) непарна. Функція у=ctg(x) непарна. Властивість 5. Множиною значень функції у = ctg ( x ) є множина всіх дійсних чисел. Множиною значень функції у = ctg ( x ) є множина всіх дійсних чисел.

Властивість 6. Функція у=ctg(x) необмежена. Властивість 7. Функція у=ctg(x) є спадною на кожному з інтервалів Функція у=ctg(x) є спадною на кожному з інтервалів Властивість 8. Функція у=ctg(x) додатна на кожному з інтервалів Функція у=ctg(x) додатна на кожному з інтервалів відємна на кожному з інтервалів відємна на кожному з інтервалів і перетворюється в нуль при і перетворюється в нуль при Графік функції у=ctg(x) зображено на рис. 6 рис. 6 рис. 6

Графік функції у=ctg(x) Рис. 6

Перетворення графіків тригонометричних функцій Графік тригонометричних функцій має вигляд: - циклічна частота коливань, показує в скільки разів графік функції зжимається до осі ОУ; - показує зміщення графіка функції вздовж осі ОУ, якщо, то він переміщається вліво, - вправо.

А – амплітуда коливань, яка показує в скільки разів збільшується значення у. - початкова фаза коливань, показує переміщення графіка функції вздовж осі ОУ. Рис. 7 Рис. 8 y = sin 3x ; y = 2 sin x ; y = sin (x+ /4).

Графік функції у=sin(3x) Рис. 7

Графік функцій у=2sin(x) і у=sin(x+ /4) Рис. 8

Побудувати графік функції Графік даної функції дістаємо з графіка функції у=sin(x) послідовним виконанням таких перетворень: Стисненням його до осі у в два рази Розтягуванням від осі х в три рази Зсувом вздовж осі х на одиниць у додатному напрямі осі (рис. 9)

Графік функції у=sin(3x) Рис. 9

Таким чином, під час перегляду цієї презентації ви мали нагоду ознайомитись із тригономет- ричними функціями, побудовою їх графіків більш детально. Дякую за увагу і бажаю успіхів у вивченні цієї теми!