Автор: канд. воен. наук, доцент ТЕЛЬНОЙ В.И. Эпюр 2: «ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ»

Закрепить знания по темам «Способы преобразования проекций», «Пересечение поверхности плоскостью», «Взаимное пересечение поверхностей» и приобрести навыки в решении позиционных и метрических задач Закрепить знания по темам «Способы преобразования проекций», «Пересечение поверхности плоскостью», «Взаимное пересечение поверхностей» и приобрести навыки в решении позиционных и метрических задач ЦЕЛЬ ЗАДАНИЯ: 1. Два типа поверхностей - гранная и криволинейная, пересеченные плоскостями. 2. Две поверхности 1. Два типа поверхностей - гранная и криволинейная, пересеченные плоскостями. 2. Две поверхности Д А Н Ы : 1. Построить сечение поверхности плоскостью. Определить натуральную величину сечения любым способом (рис. 1). 2. Построить линию пересечения поверхностей (рис. 2) 1. Построить сечение поверхности плоскостью. Определить натуральную величину сечения любым способом (рис. 1). 2. Построить линию пересечения поверхностей (рис. 2) Т Р Е Б У Е Т С Я : Цель и содержание эпюра 2

Рис. 1

Рис. 2

1. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ ПЛОСКОСТЯМИ 1.1. Общие сведения В общем случае, для того чтобы построить линию пересечения поверхности с плоскостью, нужно найти ряд точек, принадлежащих как поверхности, так и плоскости, а затем эти точки соединить плавной кривой или ломаной линией Для нахождения произвольной точки линии пересечения, необходимо: 1. рассечь заданные фигуры вспомогательной плоскостью; 2. найти линии пересечения этой плоскости с поверхностью и с заданной плоскостью; 3. на пересечении найденных линий получить искомые точки (чаще всего - две) Последовательно проводя ряд вспомогательных плоскостей, можно найти необходимое число точек Вспомогательную плоскость следует выбирать так, чтобы ее линия пересечения с поверхностью проецировалась на плоскости проекций в виде простейших линий - прямой или окружности

Характерные точки определяют характер линии и ее видимость. ХАРАКТЕРНЫЕ (ОПОРНЫЕ) ТОЧКИ Экстремальные точки (высшая и низшая, крайняя левая и крайняя правая, ближняя и дальняя) Точки, лежащие на проекциях очерка поверхности Точки, лежащие на проекциях осей поверхности Среди характерных точек выделяются очевидные точки, которые для своего нахождения не требуют дополнительных построений, а определяются при помощи линий проекционной связи. В некоторых случаях одна и та же точка может выполнять несколько функций. Промежуточные точки выделяются на заданной линии для более точного графического построения искомой проекции линии. При построении линии пересечения находят прежде всего ее характерные (опорные) точки, а затем, по мере необходимости, промежуточные точки.

При построении сечения гранных поверхностей плоскостью используют два способа: 1. способ граней – определяются стороны многоугольника сечения; 2. способ ребер – определяются вершины многоугольника сечения При построении сечения гранных поверхностей плоскостью используют два способа: 1. способ граней – определяются стороны многоугольника сечения; 2. способ ребер – определяются вершины многоугольника сечения Построение сечений значительно упрощается, если секущая плоскость является проецирующей. В этом случае одна проекция сечения совпадает с проецирующим следом плоскости

Пересечение пирамиды фронтально проецирующей плоскостью R 1.2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ПЛОСКОСТЬЮ Секущая плоскость R пересекает боковую поверхность пирамиды по четырехугольнику, фронтальная проекция которого совпадает с фронтальным следом (R V ) плоскости

Фронтальные проекции (1, 2, 3, 4) вершин четырехугольника сечения определяем способом ребер как точки пересечения ребер пирамиды с заданной плоскостью

Горизонтальные проекции (1, 2, 3, 4) вершин сечения определяем при помощи линий проекционной связи

Соединив последовательно найденные точки, получаем горизонтальную (1234) проекцию искомой линии пересечения. Из чертежа видно, что три стороны (12, 23 и 14) являются видимыми, а сторона (34) невидимой

Определяем видимость пирамиды

Для построения натуральной величины фигуры сечения используем способ вращения

Пересечение прямой призмы плоскостью общего положения Р

Ребра призмы перпендикулярны к плоскости Н, поэтому горизонтальные проекции (1, 2, 3, 4) точек пересечения совпадают с горизонтальными проекциями ребер (а, b, c, d) призмы.

Пользуясь условием, что точка (1, 1 ) лежит на плоскости Р, находим фронтальную проекцию (1 ) точки

Пользуясь условием, что точки (2, 2 ), (3, 3 ), (4, 4 ) лежат на плоскости Р, находим фронтальные проекции (2 ), (3 ), (4 ) точек, используя фронтали плоскости Р

Соединив последовательно найденные точки, получаем фронтальную ( ) проекцию искомой линии пересечения. Из чертежа видно, что две стороны (14 и 34) являются видимыми, а две другие стороны (12 и 23) невидимыми

Определяем видимость призмы

Сущность способа совмещения - заданную плоскость Р вместе с расположенным в ней сечением вращают вокруг одного из ее следов Р Н или Р V до совмещения с соответствующей плоскостью проекций Н или V. Для определения совмещенного следа P v 0 при вращении плоскости Р вокруг следа Р H достаточно найти совмещенное положение N 0 любой точки N следа Р V

Пользуясь условием, что точки (2, 2 ), (3, 3 ), (4, 4 ) лежат на плоскости Р, находим совмещенные проекции (II 0 ), (III 0 ), (IV 0 ) точек, используя горизонтали плоскости Р

Пересечение конуса фронтально проецирующей плоскостью Р Секущая плоскость Р пересекает боковую поверхность конуса по эллипсу ( ), фронтальная проекция которого совпадает с фронтальным следом (Р V ) плоскости 1.3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ

Сначала строим габаритные точки, т.е. точки, лежащие на большой и малой осях эллипса.

Характерные точки IV и IV 1 строят аналогично точкам III и III 1.

Промежуточные точки V и V 1 строят аналогично точкам III и III 1 ; IV и IV 1.

Через горизонтальные проекции точек проводим по лекалу плавную кривую эллипс.

Для построения натуральной величины фигуры сечения используем способ вращения

Пересечение цилиндра плоскостью общего положения Р Боковая поверхность цилиндра пересекается плоскостью Р по эллипсу. Большая ось этого эллипса пересекается с осью цилиндра и имеет направление линии наибольшего ската плоскости, а малая ось пересекается с большой в ее середине и имеет направление горизонтали плоскости Характерные точки: 1. высшая и низшая точки линии пересечения (конечные точки большой оси эллипса); 2. концы малой оси эллипса; 3. точки, делящие линию пересечения на две части видимую и невидимую

Для нахождения высшей и низшей точек используем горизонтально проецирующую плоскость Q, проходящую через ось цилиндра перпендикулярно к следу Р н.

Плоскость Q пересекает плоскость Р по линии EF (ef, ef), а поверхность цилиндра по образующим, которые в пересечении дают искомые точки I (1, 1) и II (2, 2')

Концы III (3, 3') и IV (4, 4) малой оси эллипса находим с помощью горизонтально проецирующей плоскости Т, проходящей через центр О эллипса перпендикулярно плоскости Q.

Точки, являющиеся границей видимости кривой, лежат на очерковых образующих. Отмечаем горизонтальные проекции этих точек (5 и 6) и находим фронтальные проекции (5 и 6'), проведя через эти точки фронталь плоскости Р.

Концы III (3, 3') и IV (4, 4) малой оси эллипса находим с помощью горизонтально проецирующей плоскости Т, проходящей через центр О эллипса перпендикулярно плоскости Q.

Характерные точки VII(7, 7) и VIII(8, 8) находим аналогично точкам V и VI.

Для построения натуральной величины сечения совмещаем плоскость Р с плоскостью Н, вращая ее вокруг следа Рн.

Для того чтобы построить линию пересечения двух поверхностей, нужно найти ряд общих точек, принадлежащих им, а затем соединить эти точки в определенной последовательности. Линия пересечения не должна выходить за очерки наложения двух поверхностей 2.1. Общие сведения Построение линии пересечения поверхностей в общем случае осуществляется при помощи вспомогательных секущих поверхностей - посредников Вспомогательную поверхность следует выбирать так, чтобы ее линия пересечения с каждой поверхностью проецировалась на плоскости проекций в виде графически простых линий прямой или окружности 2. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ – ПОСРЕДНИКИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Плоскости Сферы Проецирующие (уровня ) Общего положения Обе поверхности возможно пересечь по графически простым линиям При построении линии пересечения конических (пирамидальных) и цилиндрических (призматических) поверхностей Концентрические - с общим центром Эксцентрические – с различными положениями центров

ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Пространственная кривая Пространственная ломаная Плоская линия При пересечении двух кривых поверхностей При пересечении кривой поверхности и многогранника При пересечении двух многогранников Прямая линия Окружность Эллипс и т.д.

Проведя несколько вспомогательных поверхностей, найдем требуемое количество точек, определяющих линию пересечения заданных поверхностей Чтобы найти точки линии пересечения двух поверхностей А и В, проводим вспомогательную поверхность Р и находим линии К и L пересечения поверхностей А и В с поверхностью P. Точки M и N пересечения найденных линий будут искомыми

При построении линии пересечения находят прежде всего ее характерные (опорные) точки, а затем, по мере необходимости, промежуточные точки Если одна из пересекающихся поверхностей является проецирующей (цилиндр, призма), то задача на пересечение поверхностей сводится к более простой задаче на принадлежность линии поверхности, ибо одна из проекций искомой линии в этом случае известна

Порядок построения линии пересечения двух многогранников (А и В): 1. находят точки пересечения ребер одного многогранника (А) с гранями другого (В); 2. находят точки пересечения ребер второго многогранника (В) с гранями первого (А); 3. найденные точки последовательно соединяют между собой прямыми линиями. Указание. Соединяют между собой обязательно только те точки, которые лежат на одних и тех же гранях каждого многогранника.

2.2. Пересечение двух призм Поверхность одной из призм проецирующая на плоскость Н, поэтому горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с очерком призмы KLM, и задача решается только на фронтальной плоскости проекций

Находим точки I (1, 1) и II (2, 2) пересечения ребра С наклонной призмы с гранями KM и KL прямой призмы

Находим точки III (3, 3) и IV (4, 4) пересечения ребра В наклонной призмы с гранями KM и LM прямой призмы Находим точки III (3, 3) и IV (4, 4) пересечения ребра В наклонной призмы с гранями KM и LM прямой призмы

Находим точки V (5, 5) и VI (6, 6) пересечения ребра L прямой призмы с гранями АС и ВС наклонной призмы, используя свойство принадлежности линии поверхности Находим точки V (5, 5) и VI (6, 6) пересечения ребра L прямой призмы с гранями АС и ВС наклонной призмы, используя свойство принадлежности линии поверхности

Аналогично находим точки VII (7, 7) и VIII (8, 8) пересечения ребра M прямой призмы с гранями АВ и АС наклонной призмы Аналогично находим точки VII (7, 7) и VIII (8, 8) пересечения ребра M прямой призмы с гранями АВ и АС наклонной призмы

Соединив с учетом видимости последовательно найденные точки, получаем фронтальную проекции искомой линии пересечения

Определяем видимость многогранников

2.3. Пересечение сферы с конусом вращения Для построения линии пересечения заданных поверхностей удобно в качестве вспомогательных поверхностей использовать ряд горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси конуса, которые пересекают сферу и конус по окружностям. На пересечении этих окружностей находят точки искомой линии пересечения Так как пересекаются две поверхности второго порядка, линией пересечения будет пространственная кривая четвертого порядка

Отмечаем очевидные общие точки I и II поверхностей в пересечении их фронтальных проекций очерков Горизонтальные проекции точек 1, 2 находим в проекционной связи

Для определения точек видимости III (3, 3) и III 1 (3 1, 3 1 ), лежащих на экваторе сферы, используем горизонтальную плоскость Р (Р V ), проходящую через центр сферы О (о) Горизонтальные проекции 3, 3 1 точек видимости находим на пересечении окружностей, по которым сферу и конус пересекает плоскость Р

Проекции промежуточных точек 4, 4 и 4 1, 4 1 найдены с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости Q (Q V )

Точки V (5, 5) и V 1 (5 1, 5 1); VI (6, 6) и VI 1 (6 1, 6 1) построены аналогично

Соединив последовательно найденные точки, получаем горизонтальную и фронтальную проекции искомой линии пересечения

Видимыми являются те точки, которые принадлежат видимой части как первой, так и второй поверхности Видимыми на фронтальной проекции линии пересечения будут только те точки, которые принадлежат заштрихованным частям конуса и сферы одновременно

Определяем видимость поверхностей