Урок геометрии в 8 классе Золотое сечение

Темы бывают разные в том числе и вечные. Устройство мира, его гармония - одна из них. Слово "гармония" имеет несколько значений: связь, созвучие, соразмерность, согласованность частей одного целого. Представители многих искусств пытались уловить законы гармонии. Давайте же вслушаемся в то, что говорили о своих поисках ученики Пифагора и Платона.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

Для математика в золотом сечении ни тайны, ни загадки: всего лишь решение простенького квадратного уравнения x2 – x – 1 = 0 ––––– = Ф = 1, 618… 2 5 – 1 –––– = 0,618…

Золотое число и обратное ему отличаются на единицу. Так что основных золотых чисел, строго говоря, – два: Ф и 1/Ф: умножая на Ф, или деля на 1/Ф, получишь один и тот же результат. Но математик не для того грыз гранит науки, чтобы тешиться нехитрыми перевертышами, или ломать зубы о философский камень, даже если это камень гармонии. Для него золотое сечение – ни два, ни полтора. А оно и впрямь 1,

С давних пор ученые занимались поисками гармонии и совершенства. Одним из таких вопросов был деление отрезка таким образом, чтобы отношение частей было совершенным Задолго до нашей эры, в различных точках мира, разные ученые, независимо друг от друга, находили это отношение, и у всех это отношение было одним и тем же. И сейчас мы с вами найдем такое деление отрезка, таким способом, каким его нашел знаменитый ученый Пифагор. Проведите остальные диагонали пятиугольника. Какую фигуру вы получили?

Этот пятиугольник называется пентаграммой, знак школы Пифагора. Во времена Пифагора он считался магическим. Отношение частей его диагоналей, названное золотым сечением, и приближенно равное 0,6, а более точно 0,618, считалось идеальным. Недаром пятиконечная звезда всегда привлекала человека своей формой. Вы часто рисовали эту звезду, не задумываясь о ее совершенной форме. А мы с вами обосновали красоту этой фигуры с помощью математики!

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Термин "Золотое сечение" ввел Леонардо да Винчи ( ) Композиция портрета "Джоконда" основана, по словам Луки Пачиоли (средневекового монаха), на золотых треугольниках, которые являются частями звездчатого пятиугольника. Это самая православная картина во всей истории живописи. Написанная почти пять столетий назад, стала сенсацией XX века, темой газетной шумихи. Миллионные очереди зрителей простаивали сутками перед зданиями музеев Америки, Японии, Москвы, чтобы в течении нескольких минут посмотреть на заключенный в бронированную витрину, очень плохо различимый в её искусственной среде шедевр Леонардо. Удивительная изменчивость лица молодой женщины. В нём проступает то холодная ирония, то кокетливая лукавство, то печаль, то душевная ясность, то серьезная сосредоточенность, то доверчивая открытость, то замкнутая не проницательность душевной жизни. Вся композиция несет в себе пафос господства человека в мире, его центрального положения во Вселенной.

Золотое сечение широко применяется для изображения лиц взрослого человека. Там, где оно присутствует - лицо гармонично и привлекательно. Золотая пропорция занимает ведущее место в художественных канонах Леонардо да Винчи и Дюрера. В соответствии с этими канонами золотая пропорция отвечает не только делению тела на две неравные части линией талии. Высота лица (до корней волос) относится к вертикальному расстоянию между дугами бровей и нижней частью подбородка, как расстояние между нижней частью носа и нижней частью подбородка относится к расстоянию между углами губ и нижней частью подбородка. Это отношение равно золотой пропорции.

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении золотого сечения. Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что для взрослых мужчин это отношение равно в среднем примерно 13/8 = 1,625, а для взрослых женщин оно составляет 8/5 = 1,6. Так что пропорции мужчин ближе к "золотому сечению", чем пропорции женщин (однако женщина в обуви на каблуках может оказаться ближе к "золотым" пропорциям). У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году у мужчин равняется 1,625. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.

Пирамида Хеопса Как была построена Большая Пирамида - это вопрос, на который нельзя ответить. Геродот сказал, что требуется 30 лет и рабов, чтобы построить это. Другая теория - это было построено крестьянами, которые не могли работать на земле, в то время как Нил затоплял земли между июлем и ноябрем. Им, возможно, заплатили продовольствием за их рабочую силу. Затопляемые воды также помогли в перемещении камней. Эти камни были принесены из Асуана и Туры, и вода доставила их прямо к пирамиде. Эта пирамида, как думают, была построена между до н.э. Было использовано блоков камня со средним весом 2.5 тонн каждый. Полный вес тонн, высота 482 футов (140m). Это наибольшая и наиболее древняя из Пирамид Гизы (Giz

По утверждению Геродота, который сообщал, ссылаясь на египетских жрецов, что Великая Пирамида строилась так, чтобы площадь одной треугольной её грани равнялась квадрату общей высоты Пирамиды. А раз так, то тогда Пирамида построена по закону Золотого Сечения!

Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие древней Греции. И среди первое место по праву принадлежит Парфенону.

Храм Афины - Парфенон был построен в честь победы эллинов над персами. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь. Как указывает Г.И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном соотносятся как отрезки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон у места расположения монументальных ворот при входе в город (пропилеи) отношения массива скалы у храма также соответствует золотой пропорции. Таким образом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмов на священном холме. Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях ее частей золотое сечение. Если принять за единицу ширины торцовый фасад храма, то получим прогрессию, состоящую из восьми членов ряда. Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам эстетическое наслаждение.

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр- дам де Пари):

Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении нескольких столетий. В плане стены храмов или опорные колонны обычно вписываются в квадрат или прямоугольник со сторонами 1:2. Одним из бесспорных шедевров русского зодчества является церковь Вознесения в Коломенском. В основу пропорции этого храма положен прямоугольник со сторонами 1 и -1, который состоит из двух прямоугольников золотого сечения. Все элементы церкви от плана до любого членения фасада подчинены двум отношениям: повторению размеров (1:1) и отношению 1:(-1)=0,809. Нижняя часть креста делится полумесяцем на нижнюю и верхнюю часть как (-1)/2=0,618. На гранях шатра имеется выполненная из белого камня сетка ромбического рисунка, подчеркивающая движение вверх. Ромбы делят грань шатра на отрезки, связанные попарно: внизу - 1 : (-1) и вверху (-1) : 2.

Церковь Вознесения в Коломенском выдающийся памятник архитектуры, первая каменная шатровая церковь в России. Возведена в Коломенском в 1532 (возможно, итальянским архитектором Петроком Малым, строившим в Москве стены Китай- города на крутом, правом берегу Москвы-реки. Строго центричный и сильно вытянутый по вертикали массив церкви включает крестообразный в плане объём, стоящий на подклете, затем восьмерик и высокий восьмигранный шатёр с небольшой главой. Узкие пилястры по углам четверика, стреловидные обрамления окон, 3 яруса килевидных кокошников, а также спокойный ритм каменных аркад лестниц и обходной галереи- гульбища подчёркивают динамичную устремлённость вверх этого редкого по красоте сооружения. В 1917 в храме была обретена чудотворная икона Богоматери «Державной». Входит в комплекс музея-заповедника «Коломенское».

Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный; он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране. Архитектурное убранство всего собора продиктовано определенной логикой и последовательностью развития форм. Исследуя его, пришли к выводу о преобладании в нем ряда золотого сечения. Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют ряд золотого сечения. В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех восьми куполов, объединяющая их в одну композицию.

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника.

Золотое сечение в шрифтах и бытовых предметах:

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам золотого сечения. Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что, так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.Сергей Эйзенштейн Броненосец Потёмкин

Существует такое понятие - золотой прямоугольник. Какой прямоугольник называется золотым, какая связь должна быть с золотым сечением? - Отношение ширины прямоугольника к его длине приближенно равно 0,6. Золотой прямоугольник обладает замечательным свойством: если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной равной ширине, то оставшийся прямоугольник также будет золотым. Психологи утверждают, что человек, живущий в комнате, имеющей форму золотого прямоугольника, более спокойный, уравновешенный.