Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н.

« Выпуклые функции. Точки перегиба. Асимптоты.»

Кривая, заданная уравнением y=f(x) называется вогнутой, если она обращена выпуклостью вниз (рис 1). Если же кривая обращена выпуклостью вверх, то она называется выпуклой (рис 2). Кривая, заданная уравнением y=f(x) называется вогнутой, если она обращена выпуклостью вниз (рис 1). Если же кривая обращена выпуклостью вверх, то она называется выпуклой (рис 2).

График вогнутой кривой

График выпуклой кривой

Условие: Если кривая, выраженная уравнением у = f(х) вогнута, то f ''(x)>0, а если кривая выпукла, то f "(х)<0. Если кривая, выраженная уравнением у = f(х) вогнута, то f ''(x)>0, а если кривая выпукла, то f "(х)<0.

Точка перегиба Точкой перегиба называется такая точка, которая отделяет вогнутую часть кривой от выпуклой или выпуклую часть кривой от вогнутой

Точка перегиба В точке перегиба, вторая производная всегда равна нулю, т.е f''(х)=0.

Алгоритм исследования функции на перегиб Дана функция у = f(х). 1. Найти область определения функции. 2. Найти первую производную функцию. 3. Найти вторую производную функцию. Дана функция у = f(х). 1. Найти область определения функции. 2. Найти первую производную функцию. 3. Найти вторую производную функцию.

Критические точки 4. Найти критические точки 2 рода: т.е. точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует. Для этого решить уравнение f "(х )=0. 4. Найти критические точки 2 рода: т.е. точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует. Для этого решить уравнение f "(х )=0.

Критические точки 5. Отметить критические точки на числовой прямой 5. Отметить критические точки на числовой прямой

Знак второй производной На каждом полученном интервале определить знак второй производной функции Для этого нужно взять любую точку из данного интервала и подставить во вторую производную Определить её знак. На каждом полученном интервале определить знак второй производной функции Для этого нужно взять любую точку из данного интервала и подставить во вторую производную Определить её знак.

Если на данном интервале f "(х) >0, то график функция вогнутый на этом интервале, а если f "(х) <0 - то выпуклый.

Точка перегиба 6. Если при переходе через данную точку вторая производная меняет знак с "+" на "-" или с '-" на "+", то данная точка будет являться точкой перегиба, а если вторая производная не меняет знак, то точки перегиба нет.

7. Найти значение функции в точках перегиба, подставив их абсциссы в данную функцию. 8. Записать результат исследования функции.

Задача 1. Исследовать функцию на перегиб

Решение:

5. Так как вторая производная функции f "(х) <0 при то график функции на данном интервале выпуклый.

На интервале вторая производная функции f "(х) >0 и график функции на данном интервале вогнутый. На интервале вторая производная функции f "(х) >0 и график функции на данном интервале вогнутый.

х=3 - точка перегиба, т.к. вторая производная функции меняет знак в этой точке. х=3 - точка перегиба, т.к. вторая производная функции меняет знак в этой точке.

(3;2) – точка перегиба. Ответ: (3;2) - точка перегиба, график функции на интервале - выпуклый, а на интервале - вогнутый. (3;2) – точка перегиба. Ответ: (3;2) - точка перегиба, график функции на интервале - выпуклый, а на интервале - вогнутый.

Задача 2. Исследовать функцию на перегиб

Решение:

6. Так как вторая производная функции f "(х) <0 при то график функции на данном интервале выпуклый. 6. Так как вторая производная функции f "(х) <0 при то график функции на данном интервале выпуклый.

На интервале вторая производная функции f"(х)>0 и график функции на данном интервале вогнутый. На интервале вторая производная функции f"(х)>0 и график функции на данном интервале вогнутый.

Вторая производная функции при переходе через точки х=-1 и х=1 меняет знак, но функция в этих точках не определена. Следовательно, у данной функции точек перегиба нет. Вторая производная функции при переходе через точки х=-1 и х=1 меняет знак, но функция в этих точках не определена. Следовательно, у данной функции точек перегиба нет.

Ответ: Точек перегиба нет. График функции выпуклый при и вогнутый при Точек перегиба нет. График функции выпуклый при и вогнутый при

Литература