{ интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции } - презентация

1 { интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции }

2 Интервалы монотонного возрастания и убывания функции определяются знаком производной. Если производная положительна на интервале, то функция возрастает на нем. Если производная принимает отрицательные значения на интервале, то функция на нем убывает.

3 x y a b Функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке ( a; b ), называется выпуклой (выпуклой вниз), если для любых точек x 1 и x 2 из ( a; b ), x 1 не равно x 2, выполняется неравенство: каковы бы не были положительные числа 1 и 2, дающие в сумме единицу. x 1 x 2 При функция f(x) называется вогнутой (выпуклой вверх).

4 Функция f(x) называется вогнутой (выпуклой вверх), если x y 0 x 1 x 2 Функция f(x) называется выпуклой (выпуклой вниз), если

5 x y x0x0 Точку M(x 0 ;f(x 0 )) кривой y = f(x) называют её точкой перегиба, если она отделяет участок графика, где он выпуклый, от участка, где график функции f(x) вогнут. Теорема. Для выпуклости (вогнутости) функции y = f(x) в промежутке (a,b) необходимо и достаточно, чтобы здесь выполнялось неравенство. В точке перегиба вторая производная функции обращается в ноль. Достаточным условием существования точки перегиба является смена знака при переходе через неё.

6 x y 0 Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов или равен или. Вертикальная асимптота Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f(x) при, если f(x) представима в виде, где (x) есть бесконечно малая при функция. Наклонная асимптота (x)

7 Для построения рекомендуется следующая последовательность действий. Найти множество определения функции, области непрерывности, точки разрыва. Найти асимптоты графика функции. Найти точки пересечения графика с осями координат. Найти первую и, если нужно, вторую производную функции. Найти точки в которых первая и вторая производные либо не существуют, либо обращаются в нуль. Составить таблицу изменения знака функции, первой и второй производных. Определить промежутки возрастания и убывания функции, выпуклости и вогнутости функции, найти точки экстремума и точки перегиба, вычислить значения функции в этих точках. При построении графика учитывать такие свойства, как четность, нечетность, периодичность. Окончательно вычертить график функции.

8 Исследуем и строим график функции. Найти множество определения функции, области непрерывности, точки разрыва: Точки разрыва: - второго рода x y Функция нечетная.

9 Найти нули функции, наклонные (горизонтальные) асимптоты. x y

10 x y Найти первую производную функции. Найти точки в которых первая производная либо не существует, либо обращается в нуль. Найти точки экстремума

11 x y Найти вторую производную функции. Найти точки в которых вторая производная либо не существует, либо обращается в нуль. Найти промежутки выпуклости, точки перегиба.

12 x y Построить график функции