Математика в музыке Россия, , г.Старый Оскол м-н Молодогвардеец 15, МОУ «Основная общеобразовательная школа 15»; выполнил: Левыкин Сергей, 9 «Б» класс Руководитель: Булухта Елена Владимировна Математическое моделирование

« Музыка есть арифметическое упражнение души, которая исчисляет себя, не зная об этом» Лейбниц

Пифагору приписывают установление двух основных законов гармонии в музыке: если отношение частот колебаний двух звуков описывается малыми числами, то они дают гармоническое звучание; чтобы получить гармоническое трезвучие, нужно к аккорду из двух консонансных звуков добавить третий звук, частота колебаний которого находится в гармонической пропорциональной связи с двумя первыми.

Лейбниц в своих многочисленных заметках о музыке еще всюду утверждает, что природа музыкальных созвучий строится на основе числовых - пропорций. Однако, сводя природу музыки к математическим пропорциям, Лейбниц тем не менее высказывал совершенно новую мысль: исчисление пропорций, которое совершается при восприятии музыки, происходит скрытным, неосознанным образом. В письме Гольбаху от 17 апреля 1712 г. Лейбниц дает следующее знаменитое определение музыки: « Музыка есть арифметическое упражнение души, которая исчисляет себя, не зная об этом». Лейбниц

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Понятие золотой пропорции Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

Первая теория музыки Математики, начиная с Пифагора, постоянно проявляли интерес к музыке. В школе Пифагора получила свое первоначальное оформление математическая теория музыки. Возьмем для примера так называемую «гармоническую пропорцию». Говорят, что три числа образуют гармоническую пропорцию, если обратные им числа удовлетворяют непрерывной арифметической пропорции. Оказывается, длины трех струн, дающих ноты до, ми, соль, которые составляют один из наиболее благозвучных аккордов мажорный, удовлетворяют гармонической пропорции, а числа колебаний этих струн образуют непрерывную арифметическую пропорцию. Пифагор видел в музыке могучее средство нравственного воспитания, однако только позже, в трудах величайшего греческого музыкального теоретика Аристоксена Тарентского (ок. 350 г. до н. э.), музыка переносится из области математики и физики в область эстетики. Это перенесение, впрочем, не означало отрыв музыки от математики.

периодическая прогрессия (типа: , например,в пульсации счетных долей времени); арифметическая прогрессия (типа , например 4:5:6 мажорное трезвучие); геометрическая прогрессия (например, в соотношении фундаментов трех основных Тональных функций типа 2/3 : 1 : 3/2 или в распределении метрической тяжести в правильном квадратном восьми такте: Пропорции между элементами музыки

деление в крайнем и среднем отношении (золотое деление); пропорционирование кульминаций ( теория Э. Лендваи); гармоническая пропорция (типа 3:4:6; например, 10:12:15 минорное трезвучие).

Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми «эстетическими вехами» на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие в целом. Этими вехами могут быть динамические и интонационные кульминационные пункты музыкального произведения. Причем такое построение характерно как для произведения в целом, так и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, асимметрична. Отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые «кульминационным события», как правило, находятся в соотношении Золотого сечения. «Кульминационный взлет»

Наиболее детально были изучены все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из которых проявляется золотое сечение. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Скрабина, Шопена советский музыковед Л.Мазель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, т.е. находится в точке золотого сечения. По мнению Л.Мазеля, число подобных восьми тактов, где подъем мелодии занимает пять тактов, а последующий спуск – три, необычайно велико. Шопен

Революционный" этюд начинается резким диссонирующим аккордом, словно артиллерийским залпом, после которого от середины клавиатуры низвергается бурный пассаж, исполняемый левой рукой. Эти два элемента - аккорд (а в дальнейшем страстная патетическая аккордовая фраза) и рокочущий пассаж - пронизывают весь этюд. «Революционный этюд» 12, до минор, Opus 10, 12.

Время прослушивания: 2.5 мин. Итог развития придётся на 94 сек. 150 сек : 94 сек= 1,6. Посчитав такты, получаю следующий результат: общее количество - 82 такта. Первая часть 51 такт. Кульминация. Вторая часть 31 такт. 82:51=1,6; 51:31 = 1,6 Получил число «фи» (если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему, результатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения ). Расчеты

Критерий гармонии Очевидно, такое расположение кульминационных моментов музыкальной мелодии является важным элементом ее гармонической композиции, придающим художественную выразительность и эстетическую эмоциональность мелодии. Характерно, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторов? Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.

Зачем нужна математика музыке? «Математика нужна музыке для того, чтобы создавать красивую лечебную музыку». «Математика нужна музыке для того, чтобы музыка звучала приятно». «Математика нужна для гармонии в музыке». Математика приводит музыку в порядок, делает ее приятной для слуха» Математические законы делают музыку лечебной» ВЫВОД: ВЫВОД: Использование математической теории музыки позволило создавать особую музыку, которая сдерживала и исцеляла болезни, обращала и приводила душевные страсти в спокойное состояние.

Использованные ресурсы exsolver.narod.ru revolution.allbest.ru festival.1september.ru Гильберт Л., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. 3-е изд. М., 1981, 344 с. Глейзер Г.Д. Геометрия.-12-ое изд.- «Просвещение»,1992. Костер Г.С. Введение в геометрию. М.,1966,648 с. Сабанеев З.А.Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения: Опыт позитивного обоснования законов формы// Искусство С Скопец З.А. Геометричекие миниатюры.-М., «Просвещение»,1990. Используемая литература