Решение уравнений с модулем, приводимых к линейным Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.
* Решить уравнение | х + 6 | = 5 4 х. Решение. Уравнение вида | ах + b | = cх + d, равносильно совокупности двух уравнений: ах + b = cх + d или ах + b = (cх + d), c обязательным условием, что cх + d 0, тогда имеем: Ответ: 0,2.
** Решить уравнение х 4= х 5 показать Ответ: корней нет.
показать ** Решить уравнение 3 4 х 7 = 2 х
** Решить уравнение | х 6 | = | х 18 | показать Решение. Очевидно, что х 6 х 18 при любом х, тогда х 6 = ( х 18 ) или х 6 = х + 18, 2 х = 24, х= 12. Ответ: 12.
*** Решить уравнение | 5 х 7 | = | 5 2 х | показать
*** Решить уравнение | х 1 | + | х 2 | = 1. Решение. Освободим левую часть уравнения от знака модуля. Для этого выделим промежутки, в которых х 1 и х 2 оба отрицательны, имеют разные знаки, оба положительны. С этой целью нужно найти значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль, это числа 1 и 2. Они разбивают числовую прямую на три промежутка: ( ; 1), [ 1 ; 2 ], ( 2 ; + ).
Имеем: х 1 2 х 1= (х 1) х 1= + (х 1) х 2= (х 2) х 2= + (х 2)
Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности трёх систем:
Решаем каждую из систем: Первая и третья системы не имеют решений, а решения второй системы образуют промежуток [ 1 ; 2 ]. Ответ: [ 1 ; 2 ]. показать
0 1 1 х у 2 3 у = | х 1 | + | х 2 | Причину несколько необычного ответа при решении этого уравнения можно увидеть, если обратиться к графику функции у = | х 1 | + | х 2 | или показать
Алгоритм решения уравнения с модулем Дано уравнение х + а+ х + b + х + c + х + m = d, где a, b, c, d, m заданные числа и пусть a < b < c. 1. Решаем каждое из уравнений: х + а = 0, х + b = 0, х + с = 0, получаем х = a; x = b; x = с. 2. Разбиваем числовую прямую на промежутки 3. Раскрываем модули и решаем уравнение на каждом промежутке. х с b a 4. Записываем ответ.
*** Решить уравнение | х | – 2| х + 1 | + 3| х + 2 | = 0. Решение. I. а) х = 0; б) х + 1 = 0; х = – 1; в) х + 2 = 0; х = – 2. х – 2 – 1 0 II. х + х х х – 2 – 1 0 х + 2= (х + 2) х + 2= + (х+2) х + 1= (х + 1) х + 1= + (х + 1) х = х х = + х
III. a) б)б)
в) в) г)г) Ответ: 2.
*** Решить уравнение | 5 – 2 х | + | х + 3 | = 2 – 3 х. Решение. I. а) 5 – 2 х = 0; 2 х = 5; х = 2,5; б) х + 3 = 0; х = – 3. х – 3 2,5 II. 5 – 2 х + + х х – 3 2,5 х + 3= (х + 3) х + 3= + (х + 3) 5 – 2 х = – (5 – 2 х ) 5 – 2 х = + (5 – 2 х )
III. a) б)б)
в) в) Ответ: ( ; 3 ].
*** Решить уравнение | 4 + х | + | 7 – х | = – 14 Решение. В уравнении корней нет, так как сумма модулей есть число неотрицательное Ответ: корней нет показать