Решение алгебраических уравнений Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Решение алгебраических уравнений Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.
Advertisements

Деление многочленов Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.
Уравнения, сводящиеся к алгебраическим Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.
Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.
Занятие элективного курса по алгебре в 10 классе. Учитель математики Ковальчук Л.Л. МОУ СОШ
Уравнение называют целым, если обе части его являются целыми выражениями (т.е. не содержат деления на выражения с переменными).
Теорема Безу. Схема Горнера и её применение Учитель математики Романовская Евгения Викторовна Белгородская область Губкинский район МБОУ «Вислодубравская.
Какое уравнение с одной переменной называется целым?
Многочлены. Решение олимпиадных задач по теме «Многочлены» Выполнила ученица 10 класса Б МБОУ лицея 1 Пщегорская Наталья.
Квадратные уравнения Определение. Неполные кв. уравнения. Полное кв. уравнение. Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Решение кв. уравнений с.
Различные способы решения систем уравнений Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.
СПЕЦИЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА 1 о корне многочлена Если число а является корнем многочлена Р(х) =а 0 х n +а 1 х n-1 +…..+а n-1 х+а n,где.
Уравнения высших степеней.. Методы решения уравнений: Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением.
Многочлены Выполнила: Ученица 10Б класса МБОУ Лицей1 Смаль Мария.
Числа а, в и с – коэффициенты квадратного уравнения. Квадратным уравнением называется уравнение вида где х-переменная, а,в и с-некоторые числа, причем.
Решение квадратных уравнений Рассмотрим квадратное уравнение (1) Дискриминант корни (в случае )
L/O/G/O Многочлены МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова.
ДЕЙСТВИЯ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ Работу выполнила Попова Вера Николаевна, учитель математики МОУ «ПСОШ» 2.
LOGO МБОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный Автор: Семёнова Елена Юрьевна.
GE131_350A
Транксрипт:

Решение алгебраических уравнений Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Повторение Решить уравнение: показать

показать Разложить на множители многочлен: 1. х² + х 12 =( х + 4)( х 3); 2. 3 х² + 5 х 2 =3( х + 2)( х ) =( х + 2)( 3 х 1); 3. 2 х³ 5 х² 3 х =х( 2 х² 5 х 3) =х 2( х + ½)( х 3)= = х( 2 х + 1)( х 3); 4. ( х² + 1)( х² 9) = = ( х² + 1)( х 3)(х + 3). Повторение

Задача. Решить уравнение х³ 7 х + 6 = 0. Решение. 1) Подберём корень уравнения: х = 1: 1³ = 0 верно. 2) Разделим : х³ 7 х + 6 на х 1 х³ 7 х + 6 х 1 х² х³ х² х² 7 х + х х² х 6 х ) Перепишем уравнение х³ 7 х + 6 = 0 в виде (х 1) (х² + х 6) = 0 и решим его: х 1 = 0 или х² + х 6 = 0, откуда х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = 3. Ответ: 1, 2, 3.

Уравнение х³ 7 х + 6 = 0 называют алгебраическим уравнением третьей степени или кубическим уравнением. Алгебраическим уравнением степени n называется уравнение Рn ( х ) = 0, где Рn ( х ) многочлен степени n 1. Каждый корень уравнения Рn ( х ) = 0 называют нулём или корнем многочлена Рn ( х ). 1, 2, 3 нули многочлена Р 3 ( х ) = х³ 7 х + 6

В уравнении х³ 7 х + 6 = 0 корни 1, 2, 3 являются делителями свободного члена 6 этого уравнения. Вывод: целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, (если они есть), нужно искать только среди делителей свободного члена этого уравнения. Этот вывод подтверждает теорема 1: если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

10 (1). Решить уравнение х³ х² 8 х + 6 = 0. Решение. 1) Р(х) = х³ х² 8 х ) Делители 6: ±1; ± 2; ± 3; ± 6. 3) Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= ; Р(6)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= = 0; Р(6)= целый корень уравнения 4) х³ х² 8 х + 6 х 3 х² х³ 3 х² 2 х² 8 х + 2 х 2 х² 6 х 2 х х + 6 5) Найдём другие корни: х² + 2 х 2 = 0, D 1 = = 3; х = 1 ± Ответ: 3; 1 ±

10 (3). Решить уравнение 6 х³ + 11 х² 3 х 2 = 0. Решение. 1) Р(х) = 6 х³ + 11 х² 3 х 2. 2) Делители ( 2) : ±1; ± 2. 3) Р(1)= ; Р(1)= ; Р(2)= = 0; Р(2)= ; 4) 6 х³ + 11 х² 3 х 2 х х²6 х³ + 12 х² х² 3 х х х² 2 х х ) Другие корни уравнения: 6 х² х 1 = 0, D = = 25; х 1 = ; х 2 = ½. Ответ: 2; ; ½. 2 целый корень уравнения

11 (1). Решить уравнениех³ 5 х² + 8 х 6 = 0. Решение. 1) Р(х) = х³ 5 х² + 8 х 6. 2) Делители ( 6) : ±1; ± 2; ± 3; ± 6. 3) Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= ; Р(6)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= = 0; Р(6)= ) х³ 5 х² + 8 х 6 х 3 х² х³ 3 х² 2 х² + 8 х 2 х 2 х² + 6 х 2 х х 6 5) Другие корни: х² 2 х + 2 = 0, D 1 = 1 2 = 1; других корней нет. Ответ: 3. 3 целый корень уравнения

11 (2). Решить уравнение 9 х³ + 12 х² 10 х + 4 = 0. Решение. 1) Р(х) = 9 х³ + 12 х² 10 х ) Делители 4: ±1; ± 2; ± 4. 3) Р(1)= ; Р(2)= = 0; Р(4)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(4)= ) 9 х³ + 12 х² 10 х + 4 х х² 9 х³ + 18 х² 6 х² 10 х 6 х 6 х² 12 х 2 х х + 4 5) Другие корни: 9 х² 6 х + 2 = 0, D 1 = 9 18 = 9; других корней нет. Ответ: 2. 2 целый корень уравнения

12 (4). Разложить на множители многочлен Решение. 2) Р(1) = = 0; Р(5) = ; Р(1) = ; Р(5) = = 0. 3) 1 и 5 целые корни многочлена и (х + 1)(х 5) = х² 4 х 5, тогда Делители 5: ±1; ± 5.

х² + 2 х 1 0 5) Другие корни: х = 1 ± х² + 2 х 1 = 0, D 1 = = 2;

13 (1). Сократить дробь Решение. 1) Р (х) = х³ + 2 х² + 9. Делители 9: ±1; ±3; ± 9. Р(1) 0; Р(3) 0;Р(9) 0;Р(9) 0. Р(3) = = 0; 3 целый корень многочлена Р (х) х³ + 2 х² + 9 х³ 2 х² + 4 х 3 х³ + 2 х² + 9 х + 3 х² х³ + 3 х² х² + 9 х х² 3 х 3 х х Другие корни: х² х + 3 = 0, D = 1 12 = 11; других корней нет. Р (х) = х³ + 2 х² + 9 = (х + 3)(х² х + 3 ).

2) Q (х) = х³ 2 х² + 4 х 3. Делители (3): ±1; ± 3. Q(1) 0;Q(1) = 0;Q(3) 0;Q(3) 0. 1 целый корень многочлена Q (х). х³ 2 х² + 4 х 3 х 1 х² х³ 2 х² х х² + 4 х х² + х 3 х х 3 0 Q (х) = х³ 2 х² + 4 х 3 = (х 1)(х² х + 3 ). Р (х) Q (х) = (х + 3)(х² х + 3 ) (х 1)(х² х + 3 ) = х 1 х + 3.

показать 13 (3). Сократить дробь Решение. Итак, = (х 2)(х + 1)( х ² х + 1).

Делители (6): ±1; ±2; ±3; ± 6.Q(1) = 0;Q(1) 0; Q(2) 0;Q(2) = 0;Q(3) 0; Q(6) 0;Q(6) 0. 1 и 2 целые корни многочлена и (х + 1)(х 2) = х² х 2, тогда Р (х) Q (х) = (х 2)(х + 1)( х ² х + 1) (х + 1)(х 2)( 2 х ² х + 3) = = х ² х х ² х + 3.

15***. Уравнение ах³ 2 х² 5 х + b = 0 имеет корни х 1 = 1, х 2 = 2. Найти а, b и третий корень уравнения. Решение. 1) х 1 = 1, х 2 = 2 корни уравнения, значит: при х 1 = 1: а b = 0, откуда а = 7 b. при х 2 = 2 : 8 а b = 0, откуда b = 8 а 2. Тогда а = 7 8 а + 2, 9 а = 9, а = 1, b = 6 и уравнение принимает вид : х³ 2 х² 5 х + 6 = 0. х³ 2 х² 5 х + 6 разделим на (х 1 )(х 2 ) = (х 1)(х+2) (х 1)(х + 2) = х² + х 2, чтобы найти третий корень уравнения.

х³ 2 х² 5 х + 6 х² + х 2 х х³ + х² 2 х 3 х² 3 х х 3 = 0, х = 3. Ответ: а = 1, b = 6; х 3 = 1

Решение алгебраических уравнений, взятых из сборника заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе (авт. Л. В. Кузнецова и др.).

х² 3 х + 2 х² + 3 х 18 0 Другие корни: х² + 3 х 18 = 0; х 3 = 6, х 4 = 3. Ответ: 1; 2; 6; (4 балла) Решите уравнение: 1) Решение. Заметим, при х = 1 и х = 2 левая часть уравнения равна 0, тогда х 1 = 1, х 2 = 2 корни уравн. Разделим многочлен на произведение (х 1)(х 2) =х² 3 х + 2:

2.23 (4 балла) Решите уравнение: 1) Решение. Перепишем уравнение: Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю (другие при этом существуют). 1) х 1 = 0; пусть х² = а тогда а² 9 а + 20 = 0, где а 1 = 4; а 2 = 5. Получаем: х ² = 4, тогда х 2 = 2, х 3 = 2; х ² = 5, тогда Ответ: 0; ± 2;

Интересные факты, связанные с решением алгебраических уравнений. Рассмотрен простой способ решения уравнений с помощью разложения многочленов на множители. Это можно сделать, если удастся найти некоторые корни уравнения. Но, есть два главных вопроса: 2) Как его найти? 1) всегда ли алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень?

Эти трудные вопросы рассматриваются в специальном разделе математики «Высшая алгебра». Основной теоремой высшей алгебры является следующая теорема. Теорема 2. На множестве комплексных чисел любое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень. Напомним, о появлении комплексных чисел: среди известных действительных чисел не оказалось числа, квадрат которого равен минус единице. Пришлось расширить множество действительных чисел, добавив к ним число i, которое назвали мнимой единицей. Итак, i ² = 1.

Числа, полученные умножением ранее известных чисел на мнимую единицу, например, 5 i или i, стали называть мнимыми, а суммы действительных и мнимых чисел, таких как i, 7 i +14, 8 3 i, стали называть комплексными числами. На протяжении многих веков выдающиеся математики развивали теорию решения алгебраических уравнений. Одним из первых основную теорему высшей алгебры сформулировал в 1629 г голландский математик Альбер Жирар, но первое строгое доказательство дал лишь в 1799 г немецкий математик Карл Гаусс. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в книге «Арифметика» греческого математика Диофанта в III в.

Формулы корней кубического уравнения впервые опубликованы в 1545 г итальянским математиком Джероламо Кардано. В том же 1545 г другим итальянским математиком Лудовико Феррари был найден способ решения уравнений 4-й степени. Однако практически найти хотя бы один корень любого алгебраического уравнения удаётся чрезвычайно редко. Более того, доказано, что в общем случае нет и не может быть способа нахождения хотя бы одного корня алгебраического уравнения, несмотря на то, что по теореме 2 такой корень существует.

Нами был рассмотрен простой способ решения уравнений с помощью разложения многочленов на множители. Для этого приходилось делить многочлен на двучлен х а. Схема Горнера. Существенно сократить и упростить вычисления помогает один несложный приём сокращённого деления, называемый схемой Горнера (Горнер Вильямс Джордж английский математик ). Покажем его практическое применение на конкретном примере.

Многочлен х³ х² 8 х + 6 1) разделить на х 3; 2) представить в виде произведения В n первых клетках второй её строки мы получаем коэффициенты частного, расположенные в порядке убывания степеней х; в (n + 1) - й клетке получаем остаток от деления. х³ х² 8 х + 6 = (х 3) (х² + 2 х 2). а 1 а 1 b2b2 а 2 а 2 а 3 а 3 а 0 а 0 b1b1 b0b0 R Построенная таблица и называется схемой Горнера.

Схема Горнера. 1. В верхней строке таблицы записываем коэффициенты при х, располагая их в порядке убывания степеней, если соответствующая порядку степень отсутствует, то соответствующий коэффициент равен Перед таблице записываем известный целый корень многочлена. 3. Нижнюю строку таблицы заполняем по правилу: а) значение первого коэффициента переписываем; б) в каждой следующей клетке записываем число, равное сумме коэффициента, стоящего над ним и произведения числа, расположенного перед таблицей, на число находящееся в соседней слева клетке.