Задачи с параметрами В помощь старшеклассникам при подготовке к экзаменам

= = = = = = = = Решение Ответ: а = х у y=f(x) y=g(x). х а

Аналитический способ решения задач с параметрами Этот способ повторяет стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Аналитический способ решения задач с параметрами – самый трудный, он требует высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Задача 1. Найдите все значения а, при которых область определения функции содержит ровно три целых числа. Преобразуем выражение в скобках: Решение. Областью определения данной функции является множество решений системы неравенств:

Функция - монотонно убывает или возрастает в зависимости от значения параметра а. при а + _ + + _ _ Рассмотрим различные случаи в зависимости от значений параметра а. 1. 0< a <1, Это множество включает в себя бесконечное число целых чисел. 2. 1< a <4 Решим первое неравенство: Пусть,. Функция - убывающая при любом значении параметра а. при. Это множество может содержать только два целых числа. 3. а >4, a _ Данное множество содержит три целых числа, если Ответ: х х

Задача 2. Найдите все положительные значения параметра b, при которых число 1 принадлежит области определения функции Решение. Найдем область определения данной функции. Для положительных значений b рассмотрим три различных случая

_ Нет решений b 32<b<3b=2, b=3b 32<b<3b=2, b=3 Число 1 принадлежит области определения функции _ _

b<2 b 3 2<b<3b=2, b= __

Ответ: при число 1 принадлежит области определения функции.

Графический способ При решении уравнения f(x)=g(x) графическим способом строятся графики функций y=f(x) и y=g(x) в одной системе координат. Как известно, число корней уравнения совпадает с количеством точек пересечения графиков построенных функций. Если график функции не зависит от параметра, то он неподвижен, а если зависит- то представляет собой семейство графиков, иначе - «подвижный» график. y=f(x) y=g(x) х у 0 1 1

Функция у = b b = -4 b = -2 b = 0 b = 2 b = 4 у х 01 1 Графики таких функций – семейство параллельных оси О х прямых.

Функция Графики таких функций – семейство прямых, проходящих через начало координат. 0 0,5 1 х = ,5 х у 0

2. Построим графики функции и рассмотрим различные случаи в зависимости от параметра. Задача. Сколько корней имеет уравнение для каждого из значений параметра ? Решение. 1. Построим график функции Ответ: 1) При уравнение имеет один корень Значения параметра Количество корней уравнения Нет корней 1 у х 0 1 2) При уравнение имеет два корня 3) При уравнение не имеет корней

Найдите все значения параметра р, при которых уравнение имеет хотя бы один корень. х у Решение. Пусть Построим график функции на отрезке, тогда причем y=2t - 3t 3 2 Графики функции у = -р - семейство параллельных оси Ох прямых. Нет корней Нет корней -5< -р< 0, 0<p<5 – уравнение имеет один или два корня -р 5 – уравнение не имеет корней Ответ: 0<p<5 -р> 0, p < 0 -уравнение не имеет корней

Решение уравнений относительно параметра При решении задач этим способом переменные х и а принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.

Задача. Решить уравнение Решение. Данное уравнение четвертой степени относительно переменной х и является квадратным относительно параметра. а 2 х а х = 0 1 а 2 х 4 - х 2 а + - = а а 2 х а 2 а х = 0 1 а 2 х 4 - а 2 х = 0 1 а а 2

Возможны различные случаи. Результаты исследования этих случаев запишем в таблицу: Нет действительных Ответ: если а<-1, то действительных корней нет; если а= -1, то ; если -1<a<1, то ; если а=1, то ; если а>1, то.

10 1 х у y=f(x) y=g(x). = = = = = = = = Решение Ответ: а =5 х а