Домашнее задание 2 Имитационное моделирование

Цель работы Ознакомление с методом имитационного моделирования поведения систем на примере расчета характеристик надежности невосстанавливаемой системы.

Формулировка проблемы Объектом лабораторного исследования является система, состоящая из 6 элементов. Резервы: ненагруженные, нескользящие. а c b d e f

Время работы элементов a, b, с, d изменяется по экспоненциальному закону с параметром λ = 0,05 Время работы элементов е, f изменяется по нормальному закону с параметрами N(250,40), N(250,10) соответственно.

Необходимо провести 500 опытов и вычислить следующие характеристики всей системы: наработку до отказа всей системы - Тсист ; плотность распределения наработки до отказа – f(t); интенсивность отказов – λ(t); вероятность отказа – Q(t); вероятность безотказной работы – Р(t).

Построение математической модели функционирования системы Для исследования надежности системы строится логическая модель функционирования. При построении логической модели систему удобнее разбить на две подсистемы: 1-ая подсистема функционирования элементов a, b, c, d (обозначим abcd) 2-ая подсистема функционирования элементов f, e (обозначим ef) Очевидно, что Т(сист) = min(T(abcd), T(ef). Т.к резерв второй подсистемы f ненагруженный и подключается только после отказа основного элемента e, то T(ef) = T(e) + T(f). Аналогично вычислим наработку до отказа для первой подсистемы: Т(abcd)=T(ab)+T(cd). Элементы ab и cd соединены попарно последовательно, поэтому время работы до отказа каждой пары вычисляется по минимальному времени работы, т.е. T(ab)=min(T(a), T(b)), T(cd)=min(T(c),T(d)).

Получение времени работы до отказа каждого из элементов, а также времени работы до отказа всей системы Время работы до отказа каждого из элементов формируется, как случайная величина с заданным законом распределения. 1. Формирование случайных величин по показательному закону (экспоненциальное распределение) Пусть х i – последовательность случайной величины х, распределенной по экспоненциальному закону распределения, тогда где числовые значения ξ i распределены по закону равной вероятности от 0 до 1. Эту формулу надо получить самостоятельно.

т.к. 1-ξ i тоже распределена равномерно на (0,1), то получаем

Формирование случайных чисел по нормальному закону Для моделирования гауссовской случайной величины ξ воспользуемся методом приближенного моделирования нормального распределения. Числовые значения γ i равномерно распределены на интервале (a,b). Тогда мы получим случайную величину ξ, приближенно нормально распределенную с параметрами M(ξ) - математическое ожидание и D(ξ) - дисперсия, которые вычисляются по формулам:

Моделирование нормального распределения с заданными параметрами Чтобы получить значения случайной величины ξнорм, распределенной с заданными параметрами (m, σ 2 ), необходимо сначала нормировать случайную полученную нормально распределенную случайную величину ξ: где ξ 0 ~ N(0,1), а потом путем обычных алгебраических операций выполнить обратные преобразования и получить величину с заданными параметрами. Тогда ξнорм = m+ σξ 0 будет иметь нормальное распределение с заданными параметрами N(m,σ). Для реализации алгоритма удобно взять границы отрезка a=0, b=1, n=12. Тогда вычисления значительно упрощаются:

Формирование случайных величин по закону Релея Пусть х i –последовательность случайной величины х, распределенной по экспоненциальному закону распределения, тогда где числовые значения γ i равномерно распределены на интервале (0,1). Эту формулу необходимо вывести самостоятельно, взяв за основу интегральную функцию распределения случайной величины.

Обработка результатов исследований Формулы для построения графиков показателей надежности: a.Интенсивность отказов Где N – количество имитационных испытаний, Δr i – число отказов на интервале Δt i, Где r i-1 – общее (накопленное) число отказов к началу i-го интервала, т.е. в течении наработки (0, t i-1 ).

б. Плотность распределения в. Вероятность безотказной работы г. Вероятность отказа

д.Средняя наработка до отказа(мат. ожидание) е. Дисперсия наработки до отказа

Расчет и построение графиков основных характеристик системы

Выводы m t = 25,644 σ t = 14,942 Из графика на слайде 15 видно, что теоретическое распределение Релея достаточно хорошо ложится на практическую кривую, полученную по результатам моделирования. Следовательно, можно сказать, что наработки до отказа исследуемой системы распределены по закону Релея с параметром b = 19. Наибольший вклад, влияние на формирование t сист оказывают элементы a, b, c, d, имеющие экспоненциальное распределение.