Случайности в школьной жизни

Тезисы 1.Случай, случайность. С ними мы сталкиваемся повседневно. Меня заинтересовали случайности в школьной жизни, им и посвящена моя работа. 2. Подходы к решению вероятностных задач разнообразны. Поэтому рассматриваются вероятности: статистическая, классическая и персоналистическая. З. В основе теории вероятностей лежит закон больших чисел. 4. В своей работе я уделила особое место совместным испытаниям. 5. Вероятность совместного осуществления двух зависимых испытаний находится, как произведение события «А» на условную вероятность события «В». 6. Вероятность есть мера надежды, она дает числовую характеристику возможности появления случайного события.

Введение Элементы теории вероятностей Перестановки. Размещения. Сочетания Статистическая вероятность Классическая вероятность Персоналистическая оценка вероятностей исходов Совместные испытания Заключение

Введение Случай, случайность. С ними мы сталкиваемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики, - какие уж законы в царстве случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – она позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями. Наука, изучающая закономерности в случайных явлениях, называется теорией вероятностей. Она, подобно другим математическим наукам, развилась из потребностей практики. Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине семнадцатого века. Первые задачи возникли в области азартных игр. Формированию ее основ способствовали также выяснение длительности жизни, подсчет населения, практика страхования. С конца семнадцатого века теория вероятностей находит все более широкое применение в различных областях. Сформировались такие понятия, как вероятность и математическое ожидание. Для всего восемнадцатого и начала девятнадцатого веков характерны бурное развитие этой науки и повседневное увлечение ею. Она становится «модной» наукой. Ее начинают применять не только там, где это применение правомерно, но и там, где оно ничем не оправдано.

Современное развитие теории вероятностей характеризуется всеобщим подъемом интереса к ней, резким расширением круга ее практических применений. За последние десятилетия она превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся наук, теснейшим образом связанную с потребностями практики и техники. В нашем учебнике по математике есть глава, в которой рассматриваются задачи по теории вероятностей. Они заинтересовали меня необычностью формулировок и постановкой вопроса. Цель моей работы – познакомиться с началами теории вероятностей, комбинаторики на примерах испытаний с небольшим числом случайных исходов. Работа носит прикладной характер, а одна из задач – исследовательская. Изучая свои оценки и нескольких одноклассников, сделали прогноз получения за ответ на уроке «хорошей» оценки. Это на практике может применить каждый ученик. Были решены задачи случайного характера из школьной жизни (выбор дежурных, вызов к доске учащихся, ответы одноклассников) табличными и графическими методами. Теория вероятностей, подобно другим математическим наукам, развилась из потребностей практики, изучает закономерности в случайных явлениях. Случайное явление это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Начало систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появление соответствующего математического аппарата относятся к XVII веку. В начале XVII века знаменитый физик Галилей уже пытался подвергнуть научному исследованию ошибки физических измерений, рассматривая их как случайные и оценивая их вероятности. К этому же времени относятся первые попытки создания общей теории страхования, основанной на анализе закономерностей в таких массовых случайных явлениях, как заболеваемость, смертность, статистика несчастных случаев и т. д. Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине XVII века и связано с исследованиями Паскаля ( ), Ферма ( ) и Гюйгенса ( ) в области теории азартных игр. В этих работах постепенно сформировались такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание; были установлены их основные свойства и приемы их вычисления. Крупный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли ( ). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей - закона больших чисел. Было неоднократно отмечено, что при большом числе опытов, исход каждого из которых является случайным, относительная частота появления каждого данного исхода имеет тенденцию стабилизироваться, приближаясь к некоторому определенному числу вероятности этого исхода.

Например, если много раз бросать монету, относительная частота появления герба, приближается к 1/2; при многократном бросании игральной кости частота появления грани с пятью очками приближается к 1/6 и т. д. Другой важный этап в развитии теории вероятностей связан с именем Моавра ( ). Этот ученый впервые ввел в рассмотрение и для простейшего случая обосновал своеобразный закон: так называемый нормальный закон (иначе закон Гаусса). Теоремы, обосновывающие этот закон для тех или иных условий, носят в теории вероятностей общее название «центральной предельной теоремы». Выдающаяся роль в развитии теории вероятностей принадлежит знаменитому математику Лапласу ( ). Он впервые дал стройное и систематическое изложение основ теории вероятностей, дал доказательство одной из форм центральной предельной теоремы (теоремы Моавра Лапласа). Значительный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с именем Гаусса ( ), который разработал метод обработки экспериментальных данных, известный под названием «метода наименьших квадратов». Среди ученых Петербургской математической школы следует назвать В. Я. Буняковского ( ) автора первого курса теории вероятностей на русском языке.

Среди ученых Петербургской математической школы следует назвать В. Я. Буняковского ( ) автора первого курса теории вероятностей на русском языке. А. А. Марков ( ) обогатил теорию вероятностей открытиями и методами большой важности. Важнейшей заслугой А. А. Маркова явилось то, что он заложил основы совершенно новой ветви теории вероятностей - теории случайных, или «стохастических», процессов. А. М. Ляпунов ( ), с его именем связано первое доказательство центральной предельной теоремы при чрезвычайно общих условиях. Для доказательства своей теоремы А. М. Ляпунов разработал специальный метод характеристических функций, широко применяемый в современной теории вероятностей. А. Я. Хинчин ( ) известен своими исследованиями в области дальнейшего обобщения и усиления закона больших чисел, но главным образом своими исследованиями в области так называемых стационарных случайных процессов. Ряд важнейших основополагающих работ в различных областях теории вероятностей и математической статистики принадлежит А. Н. Колмогорову.

Элементы теории вероятностей Введем некоторые определения понятий, часто встречающихся в теории вероятностей. Будем называть испытаниями любые опыты и исследования, а также наблюдения за различными явлениями, процессами, которые могут происходить в окружающем нас мире. Результаты испытаний называются исходами испытаний. Например: учитель вызывает к доске любого ученика из класса – это испытание; ученик ответил на четвёрку- это исход испытания. Исходы испытания бывают двух видов: детерминированные и случайные исходы. Если в испытании может быть только один однозначный исход, который будет постоянно наступать при любом числе повторов испытания, то такой исход будем называть детерминированным. Например, во время грозы после молнии всегда следует гром; выполнение арифметических действий над числами - испытания с детерминированными исходами. Если результатом испытания могут быть разные исходы, которые нельзя заранее однозначно предсказать, так как они чередуются случайным образом при повторах данного испытания, то будем называть такие исходы случайными. Случайными исходами являются: выпадение «орла» или «решки» при подбрасывали монеты; различные лотереи, спортивные соревнования, экзамены, число покупателей в магазине за день. Следует помнить, что в любом испытании наступает только один исход. Всю совокупность возможных исходов испытания будем называть множеством исходов испытания.

Сами же исходы будем называть элементами этого множества и обозначать их малой латинской буквой е. В испытании, кроме случайных исходов могут наступать случайные события - результаты испытания, которые можно выразить через его исходы. Если при появлении исхода наступает какое-то событие, то говорят, что данный исход благоприятствует этому событию, а само событие- это совокупность благоприятствующих ему исходов. События А и В называются противоположными, если все исходы испытания благоприятствуют либо событию А, либо событию В, и нет ни одного исхода, который благоприятствует этим двум событиям сразу. Событие, противоположное событию А, принято обозначать Ā, и поэтому можно записать, что Оценка шансов исхода испытания названа вероятностью. Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р (от французского слава probabilité, что означает - возможность, вероятность). Вероятность – числовая характеристика степени возможности наступления события.

Перестановки. Размещения. Сочетания Для вычисления вероятности используются элементы комбинаторики перестановки, размещения, сочетания. Комбинаторикой называется область математики, в которой излучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Иногда комбинаторику рассматривают как введение в теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики помогают в теории вероятностей осуществить подсчет числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в разных конкретных случаях. Перестановками называются комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов (обозначаются Рn). Число перестановок вычисляется по формуле: Рn = n·(n-1)·(n-2)·...·3·2·1 или Рn = n! Пример 1. В соревнованиях участвовало 5 команд. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно? Решение: Р 5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120. Ответ: 120.

Комбинации из n элементов по т элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов, называются размещениями (обозначаются символом, где n- число всех имеющихся элементов, т - число элементов в каждой комбинации, т n). = n·(n-1)·(n-2)...(n-m+ 1) или Пример 2. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд? Решение: Ответ: 210. Пример 3. Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего имеется 8 учебных предметов, а в расписание на день могут быть включены только 3 из них? Решение: Ответ: 336.

Сочетаниями называются все комбинации из n по т элементов, которыe отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом ( n є N, m є N, т n ). Число сочетаний вычисляется по формуле: Пример 4. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных, если в классе 30 учащихся? Решение: Ответ:4060.

Статистическая вероятность В основе теории вероятностей лежит объективный закон природы – закон больших чисел. Если в одних и тех же условиях при n испытаниях случайное событие А произошло т раз, то отношение т/n называется относительной частотой события А в n испытаниях. Обычно при достаточно больших значениях n относительная частота близка к некоторому числу Р(А), которое называют статистической вероятностью события А: Р(А) ~ т/n.

Пример 5. Ученик решил сделать прогноз своей успеваемости по математике, изучив свои отметки за 5-7 классы. Какова вероятность того, что очередной ответ ученика будет оценен на «4» или «5»? Рассмотрим решение задачи на конкретных примерах. Решение. Считаем, что все годы ученики учились одинаково, не учитывая особые обстоятельства (сложность данной темы, состояние здоровья и др.). Результаты представлены в таблице:

Григорьева Анастасия Кудиров Игорь Резванов Линар отметки Количество отметок Примерная вероятность получения Количество отметок Примерная вероятность получения Количество отметок Примерная вероятность получения «5»1400,88290,18180,12 «4»190,121040,6637,025 «3»00240,16880,58 «2»000050,03 Всего

Ответить на вопрос нетрудно. Пусть А – вероятность события, что очередной ответ Насти оценивается на «4» и «5». Соответственно, для Кудирова и Резванова – события В, С. Итак, для Григорьевой вероятность получить «4» и «5» равна 100%, а для Кудирова – 84%, а для Резванова – 37%. Пример 6. Подсчитано, что частота получения неудовлетворительной оценки на школьном экзамене равна 0,07. Известно, что в городе 100 человек не сдали экзамен. а) найти примерное число школьников, сдавших экзамен; б) найти примерное число школьников, сдавших экзамен успешно. Решение: а) х – примерное число школьников, сдавших экзамен. Отношение 100/х - частота (вероятность) появления неудовлетворительной оценки, т.е. 100/х = 0,07, х б) 1430 – 100 = Ответ: а) 1430; б) 1330.

Случайные события совместимые, если у них есть общие исходы испытания. Случайные события несовместимые, если у них нет общих исходов испытания (события, которые не могут произойти одновременно). Вероятность получить хотя бы один (неважно, какой именно) из нескольких интересующих нас результатов эксперимента, равна сумме вероятностей каждого из этих результатов, если эти результаты несовместимы между собой (правило сложения вероятностей). Получение оценок «4» и «5» одним и тем же учеником за один и тот же ответ - несовместимые события.

Классическая вероятность Вероятности исходов испытания очень просто определяются, если их можно положить равными друг другу (исходы испытания называют равновероятными). Пусть n - число всех равновозможных исходов и m - число исходов, составляющих событие А. Тогда вероятностью события А считают число Р(А)=m/n (отношению числа исходов, благоприятствующих наступлению события А, к числу всех равновозможных исходов). Пример 7. В классе 17 девочек и 14 мальчиков. Определить вероятность того. что оба вызванных ученика окажутся: а) мальчиками, б) девочками. Решение: а) А - событие, что оба вызванных ученика окажутся мальчиками. В классе 31 учеников. Число всех равновозможных исходов равно. Число искомых благоприятствующих исходов равно. Р(А) = 91/465 20%.

б) Пусть В – оба вызванных ученика окажутся девочками. m =, n= Р(В)=136/46529% Ответ: а) 20%, 6) 29%. Итак, вероятности исходов и событий - это числовая мера возможности наступления этих исходов и событии в испытании, которая должна удовлетворять следующим аксиомам: Аксиома 1. Вероятность любого исхода испытания е к положительна : р к >0. Аксиома 2. Сумма вероятностей всех исходов испытания равна единицы. Аксиома 3. Вероятность случайного события равна сумме единицы исходов, благоприятствующих этому событию.

Пример 8. В классе 25 человек. Из них двое отличников, пять учатся на хорошо и отлично, семь – на отлично, хорошо и удовлетворительно, восемь – на хорошо и удовлетворительно, а остальные - на удовлетворительно. Новый учитель вызывает наугад к доске ученика. Какова вероятность, что он вызывает ученика, не имеющего троек? Не имеющего пятерок? Не имеющего ни четверок, ни пятерок? Решение: «5» - 2 «4, 5» - 5 «3, 4, 5» «3, 4» -8 «3» - 3 а) Пусть А – событие, что учитель вызывает ученика, не имеющего троек ( n=25, m=7). Р(А)=7/25. б) В – событие, что учитель вызывает ученика, не имеющего пятерок (n=25, m=11). Р(В)=11/25. в) С – событие, что учитель вызывает ученика, не имеющего ни четверок, ни пятерок (n=25, m=3). Р(С)=3/25. Ответ: а) 7/25, б) 11/25, в) 3/25.

Персоналистическая оценка вероятностей исходов Прогнозы вероятностей исходов, которые дают конкретные люди, когда эти прогнозы исходят из своей личной интуиции, опыта и знания ситуации, то это способ определения вероятностей исходов испытания называют персоналистическим. В спортивных изданиях печатают вероятностные прогнозы исходов различных соревнований. Эти прогнозы дают спортивные специалисты, которые могут по-разному предсказать результаты одних и тех псе соревнований. Проверить, кто из них прав, не представляется возможным, так как не возможно провести достаточно большое число матчей между двумя командами в одних и тех же условиях. Политика и экономика - это другие области, где тоже публично даются персоналистические вероятностные оценки (например, прогнозируются возможности мирного или военного пути разрешения конфликтов между странами, котировки валют различных стран в ближайшем будущем, цены на сырьё). Нередко эти прогнозы чисто интуитивные. У этого способа оценки вероятность исходов испытания есть немало критиков: ведь закон больших чисел для исходов для исходов таких испытаний не действует. Однако для математически совершенно не важно, каким способом определены вероятности исходов испытания. Они могут быть найдены повторными испытаниями рассчитаны по классической модели вероятности, или взяты из экспертной оценки специалиста. Способ определения вероятностей может быть любым, но важно, чтобы значение вероятностей удовлетворяли аксиомам 1 и 2. Это главное.

Пример 9. Седаев и Вахитов играют партию в шахматы. Болельщики оценивают вероятность победы Седаева в 10%, а вероятность ничейного исхода считают в 2 раза больше вероятности победы Вахитова. Каковы вероятности всех исходов партии? Решение: Присвоим Седаеву номер 1, Вахитову номер 2. В партии возможны три исхода: е 1 - победа Седаева, е 2 - победа Вахитова, е 3 - ничья. По условию задачи: р 1 =0,1, р 3 = 2 р 2, р 1 + р 2 + р 3 = 1. 0,1 + р р 2 = 1 3 р 2 = 0,9 р 2 = 0,3. Р 3 =2·0,3=0,6. Ответ: 0,1; 0,3; 0,6.

Совместные испытания До сих пор рассматривались отдельные единичные испытания. Разберём примеры серии единичных испытаний, называемых совместными, чьи результаты объединяются вместе. Совместные испытания можно разделить на зависимые и независимые. Независимые совместные испытания - это единичные испытания, которые не оказывают друг на друга никакого влияния, между ними нет взаимосвязи. Зависимы и совместные испытания, которые проводятся в определённой последовательности, и результаты первых испытаний влияют на последующие испытания.

Два независимых совместных испытания Пусть проводятся два совместных единичных испытания, и в первом испытании может наступить события А, а во втором испытании - события внесли испытания независимые, то А и В - независимые события. Вероятность совместного осуществления независимых событии А и В равна произведению их вероятностей: Р(А,В) = Р(А) Р(В) (правило умножения вероятностей)

Пример 10. В классе 24 ученика. Двое из них отличники. Кроме них, 25% учащихся класса учатся только на «4» и «5». Еще 1/3 от числа учащихся получает на уроках «3», «4», «5», а остальные – только «3» и «4». На уроках математики и литературы могут вызвать отвечать любого ученика. Найди вероятности того, что: 1) на уроке математики вызовут отличника, а на литературе – получающего «3» и «4»; 2) на математике вызовут ученика, получающего четвёрки и пятёрки, а на литературе - получающего тройки, четвёрки, пятерки; 3) на математике вызовут ученика, получающего тройки, четвёрки и пятёрки, а на литературе - отличника; 4) на математике вызовут ученика, получающего четвёрки и пятёрки, а на литературе - отличника; 5) на обоих уроках вызовут отличников; 6) на обоих уроках вызовут, получающих тройки и четвёрки. Решение: «5» - 2 «4», «5» - 6 «3», «4», «5» – 8 24 «3», «4» - 8

Событие А –выбор ученика на уроке математики, событие В - выбор ученика на литературе. События А и В – независимые. 1) Р(А)=2/24= 1/12, Р(В)=8/24=1/3. Р( А,В)= Р(А)· Р(В), Р( А,В)= (1/12)·(1/3)= 1/36. 2) Р(А)=6/24=1/4, Р(В)=8/24=1/3. Р( А,В)= Р(А)· Р(В), Р( А,В)= (1/4)·(1/3)= 1/12. 3) Р(А)=8/24=1/3 Р(В)=2/24=1/12. Р( А,В)= Р(А)· Р(В), Р( А,В)= (1/3)·(1/12)=1/36. 4) Р(А)=6/24=1/4, Р(В)=2/24=1/12. Р( А,В)= Р(А)· Р(В), Р( А,В)= (1/4)·(1/12)=1/48. 5) Р(А)=22/24=1/12, Р(В)=2/24=1/12. Р( А,В)= Р(А)· Р(В), Р( А,В)= (1/12)·(1/12)= 1/144. 6) Р(А)=8/24=1/3, Р(В)=8/24=1/3. Р( А,В)= Р(А)· Р(В), Р( А,В)= (1/3)·(1/3)= 1/9. Ответ: 1) 1/36; 2) 1/12; 3) 1/36; 4) 1/48; 5) 1/144; 6) 1/9.

Пример 11. Вероятность, что ученик Сидоров опаздывает в школу равна 1/6, а вероятность того, что в этот день директор школы будет встречать у входа опаздывающих на занятия, равна 2/15. Подсчитайте вероятность того, что Сидоров избежит неприятного разговора с директором школы. Решение: е 1 е 2 е 3 е 4 А Пусть событие А – Сидоров избежит неприятного разговора с директором школы. Этому событию благоприятствуют исходы: е 2 - (О,Hв), е 3 - (Hо, В), е 4 - (Ho,Hв). Учитывая аксиомы: Р(А)= р 2 + р 3 + р 4 = 13/90 + 1/9 + 13/18 = 44/45. Ответ:44/45. директор Сидоров В, 2/15 Hв, 13/15 О 1/6 О, В 1/45 О, Hв 13/90 Hо 5/6 Ho, В 1/9 Hо, Hв 13/18

Пример 12. В 7 а классе 24 человека, из которых четверо – отличники, 10 – хорошисты, а остальные учатся средне. В 7 б классе отличники составляют 1/7 часть от общего числа учащихся, хорошисты – половину, а остальные тоже учатся средне. На уроках математики из каждого класса вызовут отвечать по одному ученику наугад. Подсчитайте вероятности, что вызовут: 1) только отличников и хорошистов; 2) учеников одного и того же уровня; 3) хотя бы одного отличника. Решение: 7 а 7 б «5» – 4 «5» – (1/7)n «4» – «4» – (1/2)n n средне - 10 средне – (5/14)n Испытания проводятся по схеме с возвращением и являются независимыми. е 1 - («5», «5»), е 2 – («5», «4»), е 3 – («5», средне), е 4 - («4», «5»), е 5 - («4», «4»), е 6 - («4», средне), е 7 – (средне, «5»), е 8 – (средне, «4»), е 9 - (средне, средне). Построим таблицу исходов двух испытаний:

7 б 7 а «5» 1/7 «4» 1/2 Средне 5/14 «5» 1/6 «5», «5» 1/42 «5», «4» 1/12 «5», средне 5/84 «4» 5/12 «4», «5» 5/84 «4», «4» 5/24 «4», средне 25/168 Средне 5/12 Средне, «5» 5/84 Средне, «4» 5/24 Средне, средне 25/468

а) Пусть А – событие, что вызовут только отличников и хорошистов. е 1 е 2 е 3 е 4 А е 5 е 6 е 7 е 8 е 9 б) Событие В – вызовут учеников одного и того же уровня. е 1 е 2 е 3 е 4 В е 5 е 6 е 7 е 8 е 9

в) Событие С – вызовут хотя бы одного отличника. е 1 е 2 е 3 е 4 С е 5 е 6 е 7 е 8 е 9 Ответ: а) 63/168, б) 8/21, в) 2/7.

П ример 13. В экзаменационные билеты по геометрии включено по два теоретических вопроса и по две задачи. Всего составлено 28 билетов. Вычислить вероятность того. что вынув наудачу билет, учащийся ответит на все вопросы, если он подготовил 50 теоретических вопросов и 32 задачи. Решение: Полный ответ на билет состоит из произведения событий: учащийся одновременно ответит на 2 вопроса (событие А) и решит 2 задачи (событие В). Вычислим вероятности этих событий. Число всех возможных комбинаций из 56 вопросов по 2 составляет Т.к. учащийся подготовил только 50 вопросов, то число исходов, благоприятствующих событию А, есть Вероятность события В определяется тем, что учащийся знает 32 задачи из 56 возможных. События А и В независимы и должны выполняться одновременно. Ответ: 31/121.

Совместные испытания Если испытания зависимые, и результаты первого испытания влияют на второе испытание, то событие В зависит от события А. Условной вероятностью Р(В/А) называется вероятность события В, вычисленная при условии, что сначала наступает событие А. Вероятность совместного осуществления зависимых событий А и В равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В: Р(А, В) = Р(А) · Р(В/А) (правило умножения вероятностей).

Пример 14. Из шести человек: Иванова, Петрова, Сидорова, Смирнова, Карпова, Антонова - нужно назначить двух дежурных. Подсчитайте вероятность, что сначала назначат Петрова, а затем – Смирнова, если выбор дежурных делают наугад. Решение:. Петров не Петров Смирнов не Смирнов Пусть А - событие, что первым вызовут Петрова. Р(А) = 1/6. В – событие, что вторым вызовут Смирнова. Событие В зависит от события А. Поэтому заданная в задаче вероятность события В - условная, Р(В/А). Р(В/А) = 1/5. Р(А, В) = Р(А) ·Р(В/А) = (1/6) · (1/5) = 1/30. Ответ: 1/30.

Полная вероятность зависимого события - это вероятность его наступления в совместных испытаниях. Пример 15. Андрея, Дмитрия, Петра и Леонида давно не вызывали отвечать на уроках математики, и учитель обещал, что вызовет наугад двоих из них на ближайшем занятии. Подсчитайте вероятности, что: 1) вторым вызовут Андрея; 2) вызовут Дмитрия и Леонида в любом порядке; 3) одним из двоих вызванных будет Петр. Решение: Составим таблицу исходов.

2 1 Андрей 1/3 Дмитрий 1/3 Петр 1/3 Леонид 1/3 Андрей 1/4 А, Д 1/12 А, П 1/12 А, Л 1/12 Дмитрий 1/4 Д, А 1/12 Д, П 1/12 Д, Л 1/12 Петр 1/4 П, А 1/12 П, Д 1/12 П, Л 1/12 Леонид 1/4 Л, А 1/12 Л, Д 1/12 Л, П 1/12

Диагональные клетки отсутствуют, так как невозможно дважды вызвать одного и того же ученика. Всего в совместных испытаниях 12 равновозможных исходов. а) Пусть событие А – вторым вызовут Андрея. По таблице находим, что событию А благоприятствуют три исхода: е 4 - (Д, А), е 7 – (П, А), е 10 - (Л, А). В нашем случае n=12, m А = 3. б) В – событие, что вызовут Дмитрия и Леонида в любом порядке. Событию В благоприятствуют исходы: е 6 - (Д, А), е 11 - (Л, Д). в) С – событие, что одним из двоих вызванных будет Петр. Этому событию благоприятствуют исходы: е 2 - (А, П), е 5 – (Д, П), е 7 – (П, А), е 8 - (П, Д), е 9 – (П, Л), е 12 – (Л, П). Ответ: а) 1/4; б) 1/6; в) 1/2.

Пример 16. В классе 25 человек. 10 из них отлично подготовились к уроку математики и, если их вызовут отвечать, получат пятерки. Еще 10 человек из класса в случае вызова на уроке математики получат «4». Остальные ученики класса подготовились средне и в случае вызова получат тройки. Двоек на уроке математики не может получить ни один ученик. На уроке будут вызваны наугад два ученика. Подсчитайте вероятности, что: 1) оба получат одинаковые оценки; 2) хотя бы один из двоих получит пятерку; 3) никто из двоих не получит двойки. Решение: Построим «дерево» испытаний. Маршруты «дерева» – это исходы зависимых совместных испытаний, а все «дерево» – это графическое изображение множества исходов.

2/5 2/5 1/5 I испытание «5» «4» «3» II испытание 3/8 5/12 5/24 5/12 3/8 5/24 5/12 5/12 1/6 «5» «4» «3» «5» «4» «3» «5» «4» «3» е 1 – («5», «5»), е 2 – («5», «4»), е 3 – («5», «3»), е 4 – («4», «5»), е 5 – («4», «4»), е 6 – («4», «3»), е 7 - («3», «5»), е 8 - («3», «4»), е 9 – («3», «3»). 1) А – событие, что оба ученика получат одинаковые оценки Событию А благоприятствуют исходы: е 1, е 5, е 9.

2) В – событие, что хотя бы один из двоих получит пятерку. Событию В благоприятствуют исходы: е 1, е 2, е 3, е 4, е 7. 3) С- событие, что никто из двоих не получит тройки. Событию С благоприятствуют исходы: е 1, е 2, е 4, е 5. Ответ: 1) 1/3, 2) 13/20, 3) 19/30.

Заключение Вероятность - это мера надежды, она дает числовую характеристику возможности появления случайного события. Вероятностные оценки широко используются в физике и биологии, в социологии и демографии, в экономике и политике, в спорте и в повседневной жизни каждого человека. Человек, после «знакомства» с теорией вероятности, начинает всё чаще взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные, замечать, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности. Теория вероятности открывает интересный и разнообразный мир задач, для решения которых необходимы теоретические знания и умение логически мыслить.

Библиографический список 1) Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа, ) Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, ) Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А., КузнецоваЛ.В., Минаева С.С. Математика: Арифметика, алгебра, анализ данных. - М: Дрофа, ) Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. – М.: Просвещение, ) Федосеев В.Н. Решение вероятностных задач. - М.: Авангард, ) Письменный Д.Т. Лекции по теории вероятности и математической статистики. - М.: Айрис-пресс, ) Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. 4.1:Учеб. пос./Данко П.Е., Попов А.Г. – 5-е изд. – М.:Высш. шк., с. 8) Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. 4.2:Учеб. пос./Данко П.Е., Попов А.Г. – 5-е изд. – М.:Высш. шк., с. 9) Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. 4.1:Учеб. пос./Данко П.Е., Попов А.Г. – 6-е изд. – М.: Изд. дом «ОНИКС 21 век», – 304 с. 10) Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. 4.2:Учеб. пос./Данко П.Е., Попов А.Г. – 6-е изд. – М.: Изд. дом «ОНИКС 21 век», – 416 с.