Особые приёмы решения логарифмических неравенств с переменной в основании Занятие 1 Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Например, неравенства вида: При а > 0, а 1 являются логарифмическим

Решение простейших логарифмических неравенств: a > 1 x 1 > x 2 > 0 a > 1 x 1 > x 2 > 0 a > 1 x 2 > x 1 > 0 a > 1 x 2 > x 1 > 0 0 < a < 1 x 2 > x 1 > 0 0 < a < 1 x 2 > x 1 > 0 0 < a < 1 x 1 > x 2 > 0 0 < a < 1 x 1 > x 2 > 0

Решите неравенство : Решение традиционным способом Ответ: (2; 3) 1) 2) решений нет

Решите неравенство : Решение традиционным способом 1) х 2- 0,75 - 0,50,5 х + - +////////////////////////////////////////////////////// //////////////////////////////////////////// +- + Решение системы: - 0,75 < x < - 0,5; 0,5 < x < 2

2) х - 0,5 0,5 ///////////////// 0 /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// - 0,75 ////////////////////// 2 Очевидно, что у системы решений нет Ответ: - 0,75 < x < - 0,5; 0,5 < x < 2. /////////////

Интересное заключение о знаках двух выражений

Доказать, что выражения log а b и (b – 1)(а – 1) Доказательство. 1) Перейдём к основанию, например, 2 2) Неравенство log а b > 0 перепишем в виде 3) Дробь положительна, если числитель и знаменатель одинаковых знаков, тогда одинаковых знаков. Докажем, например, что log а b > 0 и (b – 1)(а – 1) > 0 а) Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, тогда

б) Доказано, что выражения log а b и (b – 1)(а – 1) одинаковых знаков. Это свойство используется при решении логарифмических неравенств, где выражение log а b можно заменить выражением (b – 1)(а – 1) того же знака Чтобы не возникало проблем, необходимо находить ОДЗ переменной, так как формальная замена приводит к расширению области определения неравенства

Доказать, что при всех допустимых значениях переменной х неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x) равносильно неравенству (f – g)(h – 1) > 0. Доказательство.1) Перейдём к основанию, например, 2 2) Неравенство log h f (х) > log h g(х) перепишем в виде 3) Дробь положительна, если числитель и знаменатель одинаковых знаков, тогда

а) Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, тогда б) Доказано - неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x) равносильно неравенству (f – g)(h – 1) > 0 на ОДЗ

Решение логарифмических неравенств с применением доказанного свойства Аналогично неравенство log h(x) f(x) < log h(x) g(x) равносильно неравенству (f – g)(h – 1) < 0 на ОДЗ Неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x) равносильно неравенству (f – g)(h – 1) > 0 на ОДЗ

Алгоритм решения неравенства log h(x) f(x) > log h(x) g(x) 1)Находим область допустимых значений переменной (ОДЗ): 2) Решаем неравенство (f(х) – g(х))(h(х) – 1) > 0. (Условимся далее две последние строки системы писать одной так: 0 < h(x) 0) 3) Для найденного решения учитываем ОДЗ. 4) Записываем ответ.

Решите неравенство : 1) ОДЗ: 2) Переписываем неравенство в виде Решаем неравенство (х – (2 х – 3))(2 х – 3 – 1) > 0; (х – 2 х + 3)(2 х – 4) > 0;(– х + 3)2(х – 2) > 0; – 2(х – 3)(х – 2) > 0: (– 2); (х – 3)(х – 2) < 0, х 23 + –+ //////////////////////////////// 1,5 //////////////////////////////////////////////////// ОДЗ Ответ: (2; 3)

Решите неравенство : 1) ОДЗ: 2- 0,75- 0,50,5 х Ответ: - 0,75 < x < - 0,5; 0,5 < x < 2 2) + /////////////////// - 1,2 //////////////////////////////////////////////////// ОДЗ 0

Решите рассмотренным способом неравенства Ответ: 3 5. Ответ: (- 3; - 1) Решения – в материалах следующего занятия