«Л ОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » учитель : МБОУСОШ 37 г. Новокузнецк Кривошеева Любовь Валерьевна. - презентация

1 «Л ОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » учитель : МБОУСОШ 37 г. Новокузнецк Кривошеева Любовь Валерьевна

2 Определение Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим Где, Оно имеет единственное решение при любом b.

3 Равносильные уравнения. Определение 1. Два уравнения с одной переменной и называют равносильными, если множества их корней совпадают. Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (например и ) или если оба уравнения не имеют корней (например, и )

4 Определение 2. Если каждый корень уравнения является в то же время корнем уравнения то второе уравнения называют следствием первого. Например, уравнение является следствием уравнения, в то же время уравнение не является следствием уравнения.

5 Определение 3. Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого. Определение 4. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называют множество тех значений переменной, при которых одновременно имеют смысл выражения и.

6 Основные методы решения логарифмических уравнений 1)по определению логарифма; например, уравнение log a х = b (а > 0, а 1, b>0 ) имеет решение х = а b. 2) функционально-графический метод;

7 3) метод потенцирования; Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их: если, log a f(х) = log a g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а 1.

8 4. Метод введение новой переменной. 5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. 6. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

9 Этапы решения уравнения Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной Решить уравнение, выбрав метод решения Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить, удовлетворяют ли они условиям ОДЗ

10 Виды простейших логарифмических уравнений и методы их решения УравнениеРешение

11 Уравнения вида log a f(x) = b, a > 0, a 1. Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе

12 Уравнения вида log f(x) b = с, b > 0. Данное уравнение равносильно следующей системе

13 Решить уравнения: 1. log 3 (5х – 1) = log 2 (х – 5) + log 2 (х + 2) = log 3 (x 2 – 3x – 5) = log 3 (7 – 2x). 4. log x–1 9 = log 6 (x – 1) = 2 – log 6 (5x + 3).

14 Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

15 log 2 х – 2 log х 2 = –1 Решение: ОДЗ: x > 0, х 1 Используя формулу перехода к новому основанию, получим

16 Обозначим

17 Решить уравнения:

18 Введение новой переменной где a > 0, a 1, A, В, С – действительные числа. Пусть t = log a f(x), t R. Уравнение примет вид t 2 + Bt + C = 0. Решив его, найдём х из подстановки t = log a f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

19 Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0. Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ). Введём новую переменную t = lg x, t R. Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0. Его корни t 1 = –2, t 2 = 3.

20 Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3, х = 10 –2 или х = Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0). Ответ. х = 0,01; х = 1000.

21 Пример 2. Решить уравнение Решение. Найдём область определения уравнения Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

22 Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно