1.1 Древний Вавилон Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. Э. Вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: X 2 + x = ¾; x 2 - x = 14,5 Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

1.2 Индия Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 + bх = с, а > 0. В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

1.3 Европа XIII - XVII вв В « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96» Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е х, другое же меньше, т.е х. Разность между ними 2 х. Отсюда уравнение: (10 + х)(10 - х) = 96 или же: х 2 = 96 х = 0 (1)

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: 1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = bх. 2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с. 3) «Корни равны числу», т.е. ах = с. 4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = bх. 5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с. 6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2. Вот одна из его задач: «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х = 10 х). Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень. Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Решим уравнение х х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители: х х - 24 = х х - 2 х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х х - 24 = 0.

Решим уравнение х х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х х в следующем виде: х х = х х 3. В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2, так как х х = (х + 3) 2. Преобразуем теперь левую часть уравнения х х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3 2. Имеем: х х - 7 = х х = (х + 3) = (х + 3) Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3) =0, (х + 3) 2 = 16. Следовательно, х = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

а) Решим уравнение: 4 х х + 3 = 0. а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4ac = = = 1, D > 0, два разных корня; Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при b 2 - 4ac >0, уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня. б) Решим уравнение: 4 х х + 1 = 0, а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) = = 0, D = 0, один корень; Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4ac = 0, то уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а 0. 1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = с/а. Доказательство. Разделим обе части уравнения на а 0, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + b/a x + c/a = 0. Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом, x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 ( - c/a), т.е. х 1 = -1 и х 2 = c/a, что и требовалось доказать.

Решим уравнение 345 х 2 – 137 х – 208 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = c/a = -208/345. Ответ: 1; -208/345. Решим уравнение 132 х 2 – 247 х = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – = 0), то х 1 = 1, х 2 = c/a = 115/132. Ответ: 1; 115/132.

Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней Решим уравнение 3 х 2 14 х + 16 = 0. Решение. Имеем: а = 3, b = 14, с = 16, k = 7; D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня; Ответ: 2; 8/3

Решим графически уравнение х х - 4 = 0 (рис. 2). Запишем уравнение в виде х 2 = 3 х + 4. Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3 х + 4. Прямую у = 3 х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х 1 = - 1 и х 2 = 4. Ответ: х 1 = - 1; х 2 = 4. Решим графически уравнение (рис. 3) х х + 1 = 0. Запишем уравнение в виде х 2 = 2 х - 1. Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2 х - 1. Прямую у = 2 х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1) и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми. Решим уравнение х х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15). Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5 х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25. Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2, четырех прямоугольников (4 2,5 х = 10 х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25 4 = 25), т.е. S = х х Заменяя х х числом 39, получим, что S = = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Литература: 1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. - М., Просвещение, С Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. - М., высшая школа, Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, 4/72. С Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1970