Сборник задач для закрепления навыков решения задач по теме «Сумма углов треугольника». Математика. Раздел геометрия. 7 класс. Автор: Смирнова Галина Александровна. Учитель математики. МКОУ Брединская СОШ 2. п. Бреды, Челябинская область год.

Назначение сборника: Сборник содержит задачи на готовых чертежах по теме «Сумма углов треугольника», что делает его удобным для применения как учителем на уроках закрепления нового материала, при обобщении и повторении изученного, так и для самостоятельного использования учащимися на персональном компьютере. Для тех учащихся, кто интересуется геометрией и желает научиться решать задачи по данной теме. Ко всем задачам даны ответы, к некоторым приведено подробное решение. (Понятно, что этот пункт комментариев – для учащихся). Применение сборника позволит учителю экономить время при подготовке уроков данной темы, освободит рабочую площадь доски, позволит рассмотреть большее количество задач разного уровня сложности и содержания в течение урока или уроков. Изучение геометрии, начинающееся в 7 классе, вызывает у большинства учащихся затруднения по грамотному оформление решения задачи, это еще одно назначение сборника – помочь учащимся научиться самостоятельно, грамотно, обоснованно записывать решение задачи. В условиях ЕГЭ, ГИА и олимпиадных тестов оформление задач отошло на второй план. Но, по-моему мнению, в соответствии с новым ФГОС, развивая УУД (универсальные учебные действия), умения формулировать и записывать свои выводы – взаимосвязаны. Сборник сопровождается необходимым теоретическим материалом по данной теме.

Необходимый теоретический материал: Сумма углов треугольника равна Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0, равен половине гипотенузы. Сумма смежных углов равна Вертикальные углы равны.

Навигация. 1. Переход между слайдами с задачами: «клик мышкой» по свободной зон. Или переход по гиперссылке «ответы» на слайд ответов. 2. Выход со слайда с ответами: «клик мышкой» по гиперссылкам с номерами задач, на которые хотите пройти. 3. С последнего слайда ответов, как и с последнего слайда задач, переход на слайд с перечнем использованных источников. ВНИМАНИЕ! Слайды 35 – 46 (Ответы и решения) выполнены более мелким шрифтом, так как предназначены для учащихся, которые будут работать на персональном компьютере

12 А С В СА В ? ? ответы

3 4 B CD A А В D C ? ? 17 ? 52 ? ответы

5 L K NM T A 6 С А В D ? ? ? NLT=42 0 NTL=63 0 ответы

78 А В С 72 ? 48 ? А В С ответы

9 A C B D 10 AC D B ? 140 ? 40 ? ответы

11 AB C D 12 N A C P ? ? ответы

13 14 A B C ? ? ? А:В: С = 3 : 4 : 5 A B C ? ?? А = 2В С =А+10 ответ 13 ответ 14

15 A B C 16 M N P ? ? ? ? ? ? ответы А = В - С 2 В : С = 7:3 N = M N – 10 0 = P

17 C AB 18 D FE ? ? ? ? ? ? ответы A : B : C = D + E = 70 0 E + F = 150 0

19 FR, EK-биссектрисы 20 С1С1 O A A1A1 C B R E DKF O ? 50 0 DEF= ответ 19 ответ 20 A - ? B - ? C - ?

21 T P L R N 22 A D BC ? 56 К ? ? ответы C = 0,6 * A B - ?

23 B AC A1A1 C1C1 O 24 A B C M T 48 0 ? 40 0 ответы A - ? B - ? C - ?

2526 ADE C B ? ? A B C D ответы A - ? B - ? C - ? ABC = BE – биссектриса В DВЕ = 20 0

27 28 M F P N M = 80 0 MN-биссектриса ? ? ? 29 0 К М Р Т ответ 27 ответ 28

2930 А В С К ? M RK L P ответы A - ? B - ? C - ? O

31 A B C 3232 B C A ? ответы C - ? ABC - ?

3 A B C 3434 A B C ? ? ответы A - ? ABC - ?

A B C AC B ? ? ? ? ? ? ответы

К Р D B A C ? ? ? ? ответы

A B C AC B ? ? ? ? ? ? М ответы

A B C A BC ? ? ? ? К М ответы А = 2 - 1

4343 A B C 4 M DE ? ?? ? К А В С ответы M

4545 B AC 4646 AB C ? М ответ 45 ответ 46 А : В : С = 2 :3 : 4 1 : 2 : 3 -?

47 AC B 4848 A B C ответы ?

4949 A B C 5050 A B C ответы 1 меньше 2 на ? 2 - ? 1 2 в 3 раза 1 - ? 2 - ?

5151 A B C 5252 A B C ? ?? ответы 1 : 2 = 4 : ? 2 - ? A - B = 25 0

5353 A B C 5454 A B C ? ??? ? ? ответы А В в 3 раза 1 2 на 40 0 А В на в 2 раза

5 A B C D 5656 A B C D ? ответы ? ے АВD = 25 0 ے АСD = 19 0

5757 A B C Внешний угол AD B C ? ? ? ответы BD – биссектриса В - ? С - ?

5959 A BC 6060 B M KE AC ? ? ответы 2 - ? 3 - ? = = 4* 3

СА В ? 1 Дано: АВС ے ВАС = 53 0, ےАВС = 62 0 Найти: ےАСВ. Решение: Так как сумма углов треугольника равна 180 0, то ےАСВ= – (ے ВАС + ےАВС) = – ( ) = 65 0 Ответ: ےАСВ = Ответ: ےАВС = 27 0 Ответы и решения. задачи 3-4 задачи 1-2

А В D C ? ? 3 Дано: АВС, BD – биссектриса, ے АDB = 95 0, ےDВС = 51 0 Найти: ے ВАD, ےDCВ Решение: По условию BD – биссектриса, значит ے AВD = ےDВС = Рассмотрим АВD. Сумма углов треугольника равна 180 0, значит ے ВАD = (ے АDB + ے AВD ) = – ( ) = Рассмотрим ВDС. ےВDС смежный с ے АDB = 95 0, а так как сумма смежных углов равна 180 0, то ےВDС = ے АDС - ے АDB = – 95 0 = Сумма углов треугольника равна 180 0, значит ےDCВ = (ے DBС + ے ВDС ) = – ( ) = Ответ: ے ВАD = 34 0, ےDCВ = Ответ: (применить свойство острых углов прямоугольного треугольника) ےВDС = 73 0, ےВАD = задачи 5-6 задачи 3-4

5. Указания: 1) сумма углов треугольника равна 180 градусам. ИзNLT найти ے N. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. 2) из NLМ найти ے NLМ. 3) из LКА найти ےLАК. 4) По свойству смежных углов найти ےКАМ. Ответ: ےКАМ = Ответ: ے ВСD= 77 0, ے ВАD= В задачах 7 и 8 применить свойство углов при основании равнобедренного треугольника. 7. Ответ: ے ВСD= 77 0, ے ВАD= Ответ: ے ВСD= 77 0, ے ВАD= Ответ: ے АВD= 70 0, ے АСD= Ответ: ے АDС= задачи 7-8 задачи 5-6 задачи 9-10 задачи 11-12

11. Ответ: ے САВ= Ответ: ے РАС= A B C ? ? ? Дано: АВС ے А : ےВ : ےС = 3 : 4 : 5 Найти: ے А, ےВ, ےС Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности, тогда ے А = 3 х, ےВ = 4 х, ےС = 5 х. Так как сумма углов треугольника равна 180 0, то составим и решим уравнение: 3 х + 4 х + 5 х = х = 180 Х = 180 : 12 Х = 15 Значит ےА = 3 х = 15 0 * 3 = 45 0, ےВ = 4 х = 15 0 * 4 = 60 0, ےС = 5 х = 15 0 * 5 = Ответ: ےА = 45 0, ےВ = 60 0, ےС = задачи задачи 13-14

С А В ? ?? 14 Дано: АВС ےА = 2 ےВ, ےС = ےА Найти: ےА, ےВ, ےС. Решение: Пусть ے А = х, тогда ےВ = 0,5 х, ے С = х + 10, сумма углов треугольника равна 180 0, составим и решим уравнение: х + 0,5 х + (х + 10) = 180 2,5 х = 180 – 10 2,5 х = 170 х = 170 : 2,5 х = 68 Значит ے А = х = 68 0, ےВ = 0,5 х = 0,5 * 68 0 = 34 0, ے С = х + 10 = = Ответ: ے А = 68 0, ےВ = 34 0, ے С = Ответ: ے А = 30 0, ےВ = 105 0, ے С = Ответ: : ے N = 50 0, ے М = 90 0, ے Р = задачи задачи задачи 17-18

17. Ответ: ے А = 110 0, ےВ = 40 0, ے С = Ответ: ے D = 30 0, ے E = 40 0, ے F = R E DKF O ? Дано: DEF, ےD = 50 0, FR, EK – биссектрисы, ے DEF = 70 0 Найти: ےEOF. Решение: Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Из DEF найдем ےDFE. ےDFE = – ( ےD + ے DEF) = – ( ) = По условию FR и EK – биссектрисы, тогда из EОF найдем ےEOF = – ( ےОЕF+ ےEFO) = – ( ) = Ответ: ےEOF = задачи задачи задачи 21-22

20 Ответ: ے А = 56 0, ےВ = 68 0, ے С = Указания: 1) из LPT найти ےPLT, 2) из LRK найти ےRKL, 3) ےLKM – смежный с ےRKL. Ответ: ےLKN = Ответ: ے А = 50 0, ےВ = 100 0, ے С = Ответ: ے А = 48 0, ےВ = 84 0, ے С = Ответ: ے МАТ = Ответ: ے А = 60 0, ے С = Ответ: ے А = 20 0, ےВ = 140 0, ے С = Ответ: ے MNF = задачи задачи задачи задачи задачи 27-28

28 Ответ: ے К = 61 0, ے КМР = Ответ: ے А = 72 0, ےВ = 36 0, ے С = Ответ: ے РМК = Ответ: ے С = Ответ: ے АВС = 136 0, ے С = Ответ: ےВ = 87 0, ے АСВ = Ответ: ے А = 76 0, ےАВС = Ответ: ے ВАС = 38 0, ےВ = 71 0, ے С = Ответ: ے А = 18 0, ےВ = 18 0, ے АСВ = задачи задачи задачи задачи задачи задачи 37-38

37 Ответ: ے Р = Ответ: ے ВАС = 33 0, ےАВС = 96 0, ے С = Ответ: ے А = 80 0, ےАВС = 40 0, ے АСВ = Ответ: ے ВАС = 68 0, ےАВС = 70 0, ے АВМ = Ответ: ے ВАС = 90 0, ےМВК = 50 0, ے АСВ = Ответ: ے АВС = Ответ: ے СВК = Ответ: ے ADE = 107 0, ےВЕD = 107 0, ے CМЕ = Ответ: ے АВМ = задачи задачи задачи задачи задачи 41-42

задачи задачи задачи Ответ: ے 1 :ے 2 : ے3 = 7 : 6 : 5 47 Ответ: Ответ: Ответ: ے 1 = 56 0, ے 2 = Ответ: ے 1 = 111 0, ے 2 = Ответ: ے 1 = 44 0, ے 2 = Ответ: ے В = 45 0, ے А = 70 0, ے АСВ = 65 0 задачи задачи 53-54

53 Ответ: ے А = 20 0, ے В = 60 0, ے С = Ответ: ے А = 20 0, ے В = 100 0, ے С = Ответ: ے D = Ответ: ے ВDC = Ответ: ے В = 104 0, ے А = ے С = Ответ: ے В = 60 0, ے АСВ = Ответ: ے 3 = 21 0, ے 2 = 84 0, ے ВАС = Ответ: ے КМЕ = задачи задачи задачи задачи задачи 1-2

Источники 1.Учебник: Геометрия. 7 – 9 классы. Л.С. Атанасян, Просвещение, 2014 г. 2. Пособие для учителя: изучение геометрии в 7 – 9 классах. К УМК Л.С. Аданасян и др г, Просвещение 3.Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7 – 9 классы. Э.Н. Балаян, изд-во Феникс, 2013 г. 4. Дидактические материалы к учебнику Л.С. Атанасяна и др. Геометрия 7-9 классы. Н.Б. Мельникова, Г.А. Захарова, Москва, 2013 г. 5.Тесты. 7 класс. К учебнику Атанасяна Л.С. и др. - Звавич Л.И., Потоскуев Е.В., Москва, 2013 г. 6. Изображение книг со страницы