4. Линейные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно (т.е. первой степени) относительно искомой функции y и ее производной

Общий вид линейного уравнения первого порядка Если, уравнение называется однородным, в противном случае неоднородным.

Способ решения линейного однородного уравнения. Линейное однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

1-й способ подстановки. Решение уравнения, ищем в виде, где может быть выбрана произвольно, а новая искомая функция.

Второй способ вариации произвольной постоянной. Этот способ состоит в том, что решение неоднородного уравнения ищем следующим образом. Находят решение соответствующего однородного уравнения

Общее решение имеет вид, но это решение не будет решением неоднородного уравнения. Решение неоднородного уравнения ищем в виде

Теорема. Если известно одно частное решение линейного уравнения, то общее решение можно найти по формуле

Теорема. Если известны два частных решения линейного дифференциального уравнения и не пропорциональные между собой (т.е. ), то общее решение можно найти непосредственно по формуле

Уравнение вида, где, называется уравнением Бернулли.

При n=0 уравнение Бернулли переходит в линейное уравнение. При n=1 уравнение является уравнением с разделяющимися переменными ( самостоятельно).

Пусть n 0 и n Метод решения уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли подстановкой приводить к линейному

Замечание. Любой из способов решения линейного дифференциального уравнения может быть применен к уравнению Бернулли непосредственно, минуя промежуточный этап – сведение последнего к линейному виду.