Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 6. Тема: Неопределенный интеграл и основные методы интегрирования. Определенный интеграл. Цель: Изучить понятие неопределенного интеграла и освоить основные правила интегрирования. Рассмотреть приложения определенного интеграла.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x (a;b) выполняется равенство F (x) = f(x).

Докажем две вспомогательные теоремы: Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b). Доказательство: (F + C) = F + C = f + 0 = f Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g (x) = 0. Если g (x) = 0 при всех x (a;b), то g(x) = C на (a;b). Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C – число.

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается f(x)dx. Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Замена переменной в неопределенном интеграле. Если функция f(x) непрерывна, а функция (t) имеет непрерывную производную (t), то имеет место формула: f( (t)) (t) dt = f(x) dx, где x = (t).

Формула интегрирования по частям u(x)v(x) (uv) = u v + v u, о Пусть u(x) и v(x) дифференцируемые на некотором промежутке функции, тогда (uv) = u v + v u, отсюда следует: (uv) dx = (u v + v u )dx = (uv) dx = (u v + v u )dx = = u v dx + v u dx = u v dx + v u dx или uv dx = uv – u v dx. uv dx = uv – u v dx.

Отсюда следует формула, которая формулой называется формулой интегрирования по частям интегрирования по частям: u(x)dv(x) = u(x) v(x) – v(x)du(x) u(x)dv(x) = u(x) v(x) – v(x)du(x)

Определенный интеграл. Определенным интегралом функции y=f(x) на [a,b] называется, если этот предел существует и не зависит от способа разбиений [a,b] на и от выбора точек. Определенный интеграл обозначается: Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Геометрический смысл определённого интеграла. y x 0 =a x n =b x1x1 x2x2 x i-1 xixi. 0 y=f (x)

Свойства определённого интеграла , k-любое число Аддитивность определённого интеграла. Для любых чисел a,b,c справедливо:

Формула Ньютона-Лейбница. Если F(x) есть какая-либо первообразная от непрерывной на [, ] функции f(x), то справедлива формула Ньютона-Лейбница:

Замена переменной в определённом интеграле. x01 t0

Интегрирование по частям в определённом интеграле.

y x y=-f(x) y=f(x) 0 b Геометрические приложения определенного интеграла

y x 0 y=f(x) y=( ) a b

1 1 y x 0 y= y=-x 2

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически.

y x 0 a b x(t), y(t), x(t), y(t) – непрерывны на, где

0 y x Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной осью OX и одной аркой циклоиды:x= (t-sin t), y=(1-cos t).

Пусть кривая задана уравнением y=f(x), где f(x) и f(x) непрерывны на [, ]. Вычисление длины дуги кривой.

Пусть кривая задана в параметрической форме x=x(t), y=y(t), t, причём x(t), y(t), x(t) 0, y(t) непрерывны на,

Вопросы: 1)Свойства неопределенного интеграла? 2)Свойства определенного интеграла? 3)Площадь каких фигур можно находить с помощью определенного интеграла?