Первообразная Интеграл. Понятие первообразной Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на интервале (a; b), если на нем производная функции. - презентация

1 Первообразная Интеграл

2 Понятие первообразной Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на интервале (a; b), если на нем производная функции F(x) равна f(x): Операцию, обратную дифференцированию называют интегрированием.

3 Примеры 1.f(x) = 2x; F(x) = x 2 F (x)= (x 2 ) = 2x = f(x) 1.f(x) = – sin x; F(x) = cos x F (x)= (cos x) = – sin x = f(x) 1.f(x) = 6x 2 + 4; F(x) = 2x 3 + 4x F (x)= (2x 3 + 4x) = 6x = f(x) 1.f(x) = 1/cos 2 x; F(x) = tg x F (x)= (tg x) = 1/cos 2 x= f(x)

4 Неопределенный интеграл Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале (a; b) функции f(x) называют любую ее первообразную функцию. Где С – произвольная постоянная (const).

5 Примеры

6 Таблица первообразных f(x)F(x) f(x) F(x)

7 Три правила нахождения первообразных 1º Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) – первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть первообразная для f(x) + g(x). 2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k – постоянная, то функция kF(x) есть первообразная для kf. 3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k 0, то функция F(kx + b) есть первообразная для f(kx + b). 1 k

8 Определенный интеграл – формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, образованной линиями: сверху ограниченной кривой у = f(x), и прямыми у = 0; х = а; х = b.

9 Вычисление определенного интеграла

10 Площадь криволинейной трапеции ab x y y = f(x) 0 AB C D x = a x = b y = 0

11 Площадь криволинейной трапеции (1) abx y y = f(x) 0 AB C D x = a x = b y = 0

12 abx y y = f(x) 0 y = g(x) AB C D M P Площадь криволинейной трапеции (2)

13 abx y y = f(x) 0 y = g(x) AB C D M P Площадь криволинейной трапеции (3)

14 Пример 1: вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2, y = x + 2. x y y = x 2 y = x A B O D C 2

15 abx y y = f(x) 0 y = g(x) A BC D с Е Площадь криволинейной трапеции (4)

16 Пример 2: 28x y = (x – 2) 2 0 ABC D 4 y y = 2 8 – x 4 вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = (x – 2) 2, y = 2 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0

17 Пример 2: вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = (x – 2) 2, y = 2 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0