Неравенство треугольника Урок решения задач 7 класс

Неравенство треугольника Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других | AC | | AB | + | BC |

Следствия из неравенства треугольника Равенство | AC | = | AB | + | BC | достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка B лежит строго между A и C, на отрезке АС. Обратное неравенство треугольника | AC | - | AB | | BC |

Задача 1: a, b, c – стороны треугольника, c – целое число. Найти c. 1) а=8, b=6, с>12 2) a = 3,17, b = 0,75

Задача 1 РЕШЕНИЕ 1) Из неравенства треугольника c 12. Т.к. с - целое число, оно равно 13. 2) Из неравенства треугольника c a-b, т.е. с> 3,17-0,75, c>2,42. Т.к. с - целое число, оно равно 3.

Задача 2 Доказать, что в четырехугольнике диагональ меньше половины периметра.

Задача 2 РЕШЕНИЕ. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Из неравенства треугольника BD<BC+CD, BC<BA+AD, тогда 2BD<BC+CD+DA+AB, 2BD<PABCD.

Задача 3: Доказать, что в четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных.

Задача 3 РЕШЕНИЕ. Рассмотрим четырехугольник АВС D. Из неравенства треугольника AB < AD + DB, BD < BC + CD, отсюда AB < AD + BC + CD.

Задача 4 М и Р – точки внутри четырехугольника. Доказать, что расстояние между ними меньше половины периметра четырехугольника.

Задача 4 РЕШЕНИЕ. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Продлим отрезок МР до пересечения со сторонами четырехугольника – К и Т. КТ>РМ. Т.к. в четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных (задача 3), то КТ<КD+DC+CT, KT<KA+AB+BT, получаем 2KT<PABCD и РМ < KT < 0.5PABCD.

Задача 5 Есть 7 прутьев длиннее 9 см, но короче 1 м. Доказать, что из трех из них можно составить треугольник.

Задача 5 РЕШЕНИЕ. Предположим, что треугольник составить нельзя. Берем 2 самых коротких, их длина больше 9 см. Следующим должен быть больше = 18 см, иначе можно составить треугольник. Четвертый больше = 27, пятый больше = 45, шестой больше = 72, и последний будет больше = 112, что больше метра. Получили противоречие.