Теорема Длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не превосходит длины самой ломаной. Доказательство. Рассмотрим, например, ломаную ABCDE. Заменим соседние. - презентация

1 Теорема Длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не превосходит длины самой ломаной. Доказательство. Рассмотрим, например, ломаную ABCDE. Заменим соседние стороны AB и BC на отрезок AC. При этом длина ломаной уменьшится или, по крайней мере, не увеличится. Будем и дальше заменять соседние стороны ломаной на отрезки, пока не дойдем до отрезка, соединяющего начало и конец ломаной. При этом каждый раз длина ломаной не будет увеличиваться. Значит, длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не превосходит длины всей ломаной.

2 Упражнение 1 Ответ: 4 см. Для точек А, В, С, D на плоскости выполняются равенства АВ = 3 см, ВС = 4 см, CD = 5 см и неравенство AC + BD 2 см. Найдите AD.

3 Упражнение 2 Ответ: а) 8, 2; б) 8, 5; в) 8, 1. На рисунке изображены стержни, соединенные шарнирами, которые могут свободно двигаться. Для каждой конструкции найдите наибольшее и наименьшее расстояния, на которые можно раздвинуть концы A и B.

4 Упражнение 3 Докажите, что для всякой точки O, взятой внутри треугольника ABC, выполняется неравенство AC + BC > AO + BO. Решение: Обозначим D точку пересечения прямых AO и BC. Тогда AC + BC = AC + CD + DB > AD + DB = AO + OD + DB > AO + OB.

5 Упражнение 4 Докажите, что сумма расстояний от любой внутренней точки треугольника до его вершин меньше периметра треугольника и больше его полупериметра. Решение: Имеем неравенства AB < OA + OB < AC + BC, BC < OB + OC < AB + AC, AC < OA + OC < AB + BC. Складывая их, получим неравенства AB + BC + AC < 2(OA + OB + OC) < 2(AB + BC + AC), из которых непосредственно следуют требуемые неравенства.

6 Упражнение 5 Пусть ABC – треугольник, D – точка на стороне BC. На прямой AB найдите такую точку E, для которой разность CE – DE наибольшая. Ответ: Вершина B.

7 Упражнение 6 Внутри выпуклого четырехугольника ABCD найдите точку O, сумма расстояний от которой до вершин четырехугольника наименьшая. Ответ: Точка пересечения диагоналей. Для любой другой точки O сумма расстояний от нее до вершин будет больше.

8 Упражнение 7 Докажите, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра. Ответ: Имеем неравенства AС < AB + BC, AC < AD + CD, BD < AB + AD, BD < DC + CD. Складывая их, получим неравенство 2(AC + BD) < 2(AB + BC + CD + AD), из которого непосредственно следуют требуемое неравенство.

9 Упражнение 8 Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырехугольника больше его полупериметра. Ответ: Пусть O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Имеем неравенства AO > AB – OB, BO > BC – OC, CO > CD – OD, DO > AD – OD,. Складывая их, получим неравенство 2(AC + BD) > AB + BC + CD + AD, из которого непосредственно следуют требуемое неравенство.

10 Упражнение 9 Приведите пример четырехугольника, у которого сумма диагоналей меньше его полупериметра. Ответ:

11 Упражнение 10 Докажите, что сумма диагоналей пятиугольника меньше его удвоенного периметра. Ответ: Имеем: AС < AB + BC, AD < AE + DE, BD < BC + CD, BE < AB + AE, CE < CD + DE. Складывая их, получим неравенство AC + AD + BD + BE + CE < 2(AB + BC + CD + DE + AE).

12 Упражнение 12 Сравните длины ломаных на рисунке, не измеряя их. Ответ: AB 1 C < AB 2 C < AB 3 C.

13 Упражнение 11 Требуется проложить шоссейные дороги, соединяющие населённые пункты A, B, C, D, расположенные в вершинах прямоугольника. Выберите из предложенных вариантов расположения дорог тот, в котором суммарная длина дорог наименьшая. Проверьте правильность своего выбора измерением линейкой. Ответ: в).