Тема проекта: Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения. Выполняли работу Ученики 8 «Б» класса ГОУ школы-интерната 42

Эпиграф: Чтобы решить уравненье, Корни его отыскать, Нужно немного терпенья, Ручку, перо и тетрадь.

Этапы подготовки: Разбились на группы, которые выполняли определенную функцию для создания проекта: историки (находит по теме данные из истории); статисты (сопоставляют виды решения неполных квадратных уравнений); Математики (составляют тесты и задания для самостоятельной работы); Редакторы (создают презентацию по предоставленной информации); дикторы (ребята, которые ведут урок по теме с презентацией).

Ответим на вопрос: Почему мы будем изучать неполные квадратные уравнения отдельной группой?

Определения: Неполным квадратным уравнением, называют уравнение, у которого второй коэффициент b или свободный член с равны нулю. Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a 0, a, b, c – некоторые числа: а – первый коэффициент; b – второй коэффициент; с – свободный член.

Немного истории: Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Задача из истории: «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение -- 96». Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е х. Другое же меньше, т. е х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение: (10+x)(10--x) =96, или же x2 = 96. x2 - 4 = 0 Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Если решить эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то можно прийти к решению уравнения: y (20-y)=96 y2 - 20y+96=0 Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Решения неполных квадратных уравнений различного вида 1вид: Если ах² = 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму: 1) найти х²; 2) найти х. Например, 5х² = 0. Разделив обе части уравнения на 5 получается: х² = 0, откуда х = 0.

2 вид: Если ах² + с = 0, с? 0 Уравнения данного вида решаются по алгоритму: 1) перенести слагаемые в правую часть; 2) найти все числа, квадраты которых равны числу с. Например, х² - 5 = 0,Это уравнение равносильно уравнению х² = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5. Таких чисел только два и -. Таким образом, уравнение х² - 5 = 0 имеет два корня: x 1 =, x 2 = - и других корней не имеет.

3 вид: Если ах² + bх = 0, b ? 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму: 1) перенести общий множитель за скобки; 2) найти x 1, x 2. Например, х² - 3х = 0. Перепишем уравнение х² - 3х = 0 в виде х ( х - 3 ) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x 1 = 0, x 2 = 3. Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х ( х - 3 ) = 0 получится число, не равное нулю.

Вывод: Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

Тесты: 1)Даны квадратные уравнения, разнесите их по двум столбца: Полные Неполные квадратные квадратные уравнения уравнения х²+3х+5=0, 9х²=0, 2х²-5х=0, 3х²+4=3х, 6х²-3=0.

2) Укажите сколько корней имеет каждое уравнение: 5х²=0, 4х²-324=0, х²-4х=0. 3) Даны квадратные уравнения, выпишите в каждом уравнении их коэффициенты: 6х²+3=0, 7х²=0, 3х²=2х.

Самостоятельная работа: В экзаменационном сборнике под редакцией С.А. Шестаковой для 9 класса, нейдите работы в которых нужно решить неполные квадратные уравнения. Решите 2-3 уравнения.

Выводы: Подготавливая свой проект, мы научились работать в группе, разбивать тему на более мелкие подтемы, собирать информацию и перерабатывать её, решать неполные квадратные уравнения, находить и выделять их из все группы квадратных уравнений.

Внимание! Если не изучить неполные квадратные уравнения, тяжело придётся. Не постичь наук: Физику, химию, астрономию. Не сдать экзамен по математики. Не поступить в ВУЗ.

Используемые ресурсы: Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского.- 13-е изд.-М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники», с. (текст) evrugina/polinИз истории возникновения неполных квадратных уравнений, как отдельной группой. evrugina/polin Теоретический материал по теме: «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения», с примерами решений. Таблица с примерами решений различных видов неполных квадратных уравнений. 5b990bb69526/112627/ Презентации с примерами решений неполных квадратных уравнений различных типов. Электронные тесты для проверки полученных знаний. 5b990bb69526/112627/