«КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ» Автор: учитель математики средней школы 130 Московского района города Казани НУРГАЕВА НАТАЛЬЯ АЛЕКСАНДРОВНА 1 из 24. - презентация

1 «КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ» Автор: учитель математики средней школы 130 Московского района города Казани НУРГАЕВА НАТАЛЬЯ АЛЕКСАНДРОВНА 1 из 24

2 Содержание: 1. Введение 2. Квадратные уравнения 3. Примеры решения квадратных уравнений 4. Задания для самостоятельной работы 5. Ответы к самостоятельной работе 6. Используемые источники из 24

3 Квадратные уравнения. Главное меню1. Определение квадратного уравнения. 2. Неполные квадратные уравнения из 24

4 Примеры решения квадратных уравнений. Главное меню1. Решение неполных квадратных уравнений. 2. Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена. 3. Решение квадратного уравнений по формуле из 24

5 Задания для самостоятельной работы. 1. Неполное квадратное уравнение. 2. Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена. 3. Решение квадратных уравнений по формуле Главное меню 5 из 24

6 Уравнение – равенство, содержащие переменную. Решить уравнение – найти все его корни или доказать, что их нет. Корень уравнения – значение переменной, которое обращает уравнение в верное числовое равенство. Главное меню 6 из 24

7 Исторические сведения. Неполные квадратные уравнения умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н.э.). Об этом свидетельствует найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнения, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Примеры решения уравнений без геометрии даёт Диофант Александрийский ( III в.). В дошедших до нас шести из 13 книг «Арифметика» содержаться задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ax=b или ax2=b. Способ решения полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились. Главное меню 7 из 24

8 Правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду ax2+bx=c, где a>0, дал индийский учёный Брахмагупта ( III в.). В тракте «Китаб аль-джебр валль-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приёмы решения уравнений вида ax2=bx, ax2=c, ax=c, ax2+c=bx, ax2+bx=c, bx+c=ax2, (буквами a, b и c обозначены лишь положительные числа) и отыскивает только положительные корни. Общее правило решения квадратный уравнений, приведённых к виду x2+bx=c, было сформулировано немецким математиком М.Штифелем ( ). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако своё утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). 8 из 24

9 После трудов нидерландского математика А Жирара ( ), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были введены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях выглядела так, корням уравнения (a+b)x-x2=ab являются числа a и b. Главное меню 9 из 24

10 Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём a0 Числа a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения. Число a – первый коэффициент, b – второй коэффициент и с – свободный член. 2 Главное меню 10 из 24

11 Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ax2+c=0, где с0; 2) a a a ax2+bx=0, где b 0; 3) ax2=0. 2 Главное меню 11 из 24

12 1) Ответ: - 6; 6. 2) 3 Главное меню 12 из 24

13 3) Произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. 3 Главное меню 13 из 24

14 4) 5) Решений нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным числом. Ответ: решений нет 3 Главное меню 14 из 24

15 1) 2) 0=0, верно Ответ: -9, -3 3 Главное меню 15 из 24

16 3) 3 Главное меню 16 из 24

17 1) D – дискриминант квадратного уравнения 1. Если D>0, то уравнение имеет два различных корня: 2. Если D=0, то уравнение имеет два одинаковых корня: 3. Если D

18 3 Главное меню 18 из 24

19 3 Главное меню 19 из 24

20 Неполное квадратное уравнение. 1 уровень: 1. 3х 2 – 12 = х 2 – 18 = 0 3. х 2 + 2х = 0 4. х 2 - 3х = х 2 = 0 2 уровень: 1. 4х 2 – 25 = х 2 – 4 = х 2 = 3х 4. 3х 2 = - 2х 5. 2 = 7х Главное меню 20 из 24

21 Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена. 1.х 2 + х – 6 = 0 2. х 2 + 4х + 3 = х х – 3 = 0 4 Главное меню 21 из 24

22 Решение квадратных уравнений по формуле. 1 уровень: 1. х 2 + х - 72 = у 2 + 6у + 1 = 0 3. х 2 + 7х – 44 = 0 4. а + 3а 2 = уровень: 1. х 2 –5х - 84 = у 2 – 4у + 1 = 0 3. х 2 – 10х - 39= а = а 4 Главное меню 22 из 24

23 Ответы к самостоятельной работе. 1) Неполные квадратные уравнения 1 уровень 2 уровень 1.-2, , , , , ) Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена. 1.-3, , 3. -3, 1/5 3) Решение квадратных уравнений по формуле. 1 уровень 2 уровень 1. -9, , , , /3 4. решений нет 2. ½ 4. решений нет Главное меню 23 из 24

24 Используемые источники. 1.Учебник «Алгебра, 8 класс» под редакцией С.А. Теляковского. Москва «Просвещение», 2000 г. 2.«Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса» Ершова А.П. и другие. Москва «Илекса», 2005 г. Главное меню 24 из 24