Цели урока: -закрепить знания учащихся, полученные при изучении темы; - познакомить с историей квадратных уравнений; - исследовать зависимость между коэффициентами. - презентация

1 Цели урока: -закрепить знания учащихся, полученные при изучении темы; - познакомить с историей квадратных уравнений; - исследовать зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения. - способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов, воспитания трудолюбия, математической культуры.

2 1. Организационный момент. 2. Устные упражнения. 3. Тест (с самопроверкой). 4. Исторические сведения. 5. Решение квадратных уравнений по формуле. 6. Изучение зависимости между коэффициентами и корнями квадратного уравнения. 7. Проверка домашнего задания. 8. Итог урока. Домашнее задание.

3 Эта тема очень важна для изучения курса математики средней школы. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики. Например, при изучении следующих тем: решение задач на составление квадратных уравнений; разложение квадратного трехчлена на множители, квадратная функция и её график; неравенства второй степени с одной переменной; тригонометрические уравнения и неравенства; применение производной к исследованию функции; интеграл, площадь криволинейной трапеции; иррациональные уравнения; показательные уравнения и неравенства; логарифмические уравнения и неравенства.

4 1. Укажите коэффициенты в квадратном уравнении: -4х 2 - 9х + 5 = Ребята, здесь вы видите уравнения, определенные по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений из этой группы является лишним? а) 2х 2 – х = 0; б) х = 0; в) 4х 2 + х – 3 = 0; г) 2х 2 = 0; а) х 2 – 5х +1 = 0; б) 9х 2 – 6х +10 = 0; в) х 2 + 3х – 5 = 0; г) х 2 + 2х +1 = Укажите правильный ответ при решении уравнения х = 0 а) решения нет; б) ± -5; в) ± 5. 4.Назовите корни квадратного уравнения х 2 – 4х + 4 = 0 а) 2; -2; б) 2; в) 2; Является ли уравнение ( а + 1 )х 2 + 3х – 2 = 0 квадратным относительно х?

5 1.Какое из уравнений является квадратным? А. 3х 6 – 5х + 2 =0 С. 0х 2 – 15х + 1 = 0 В. 9х + 3х 2 – 10 =0 D. 5х 2 + 2,7/х + 1 = 0 1.Какое из уравнений является квадратным? А. 0х 2 +5х-3=0 С. 2х 2 +7/х+3=0 В. 3х+х 2 -10=0 D. 4х 3 -2х+5=0 2. Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам a, в,c: а=-2; b= 3,5; c=0,75. A. -2х 2 -0,75х+3,5=0 C. -2х 2 +3,5х+0,75=0 B. 3,5х 2 -2х+0,75=0 D. -2х 2 +3,5х-0,75=0 2.Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам a, в,c: а=-8; b= 0,5; c=5,3. А. -8х 2 +5,3+0,5=0 С. 0,5х 2 +8х+5,3=0 В. -8х 2 -0,5х+5,3=0 D. -8х 2 +0,5х+5,3=0 3.Укажите коэффициенты в квадратном уравнении: -5х 2 +3х-2=0. А. а=-5, в=3, с=2 С. а=-5, в=-3, с=-2 В. а=-5, в=3, с=-2 3.Укажите коэффициенты в квадратном уравнении: -3х 2 -5х+2=0. А. а=-3, в=5, с=2 С. а=-3, в=--5, с=2 В. а=-3, в=5, с=-2 4.Приведите к виду квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0: -4х-3х 2 +5х 2 =7 А. 2х 2 +4х+7=0 С. 2х 2 -4х-7=0 В. -8х 2 -4х-7=0 4.Приведите к виду квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0: 2х 2 +3х-7х 2 =8 А. -5х 2 +3х+8=0 С. -5х 2 +3х-8=0 В. -9х 2 +3х-8=0 5. Выберите среди уравнений неполные квадратные уравнения: 1)3х 3 =0; 2) х 2 +4х=192; 3) 7х 2 -3=0; 4)5у 2 =10у; 5)х 2 =6. А. 1,2,3 С. 3,4,5 В. 2,3 D. 2,3,4,5 5. Выберите среди уравнений неполные квадратные уравнения: 1)1-4у 2 =0; 2) 7а-14=0; 3) 4х-12=3х 2 ; 4)х 2 =5; 5)7а 2 =14а. А. 1,2,3 С. 1,3,4,5 В. 1,4,5 D. 4,5 6. Сколько корней имеет уравнение: -5х 2 +3х=0 ? А. два В. один С. нет корней 6. Сколько корней имеет уравнение: 3х 2 -7х=0 ? А. два В. один С. нет корней 7. Решите неполное квадратное уравнение: –х 2 -5=0 А. -5 В. -5;5 С. 5 D. нет корней 7. Решите неполное квадратное уравнение: х 2 +6=0 А. -6 В. -6;6 С. 6 D. нет корней 8. Решите уравнение: (у-6) 2 =0 8. Решите уравнение: (х+5) 2 = Выделите квадрат двучлена: х 2 -4х+3 9. Выделите квадрат двучлена: х 2 -6х-7

6 1 ВАРИАНТ 1. В 2.С 3.В 4.С 5.С 6.А 7.D 8. у-6=0 у=6 9. х 2 -4х+3=(х 2 -2х2+2 2 )-4+3=(х-2) ВАРИАНТ 1. В 2.D 3.С 4.С 5.В 6.А 7.D 8. х+5=0 х=-5 9. х 2 -6х-7=(х 2 -2х3+3 2 )-9-7=(х-3) 2 -16

7 Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений ( х 2 -х=а ) умели решать вавилоняне (примерно 2 тысячи лет до н.э.). Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (III в.) в книгах «Арифметика», которые до настоящего времени не сохранились. Правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду ах 2 +вх+с+0, где а>0, дал индийский ученый Брахмагупта (VII в). В трактате «Китаб аль-джебр валь- мукабала» хорезмский математик аль- Хорезми разъясняет приёмы решения уравнений вида : ах 2 = вх, ах 2 = с, ах 2 + с = вх, ах 2 + вх = с, вх + с = ах 2. ( а, в, с – положительные числа). Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х 2 + вх = с, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем ( ). После трудов нидерландского математика А. Жирара ( ), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

8 х ) - 6х = ) (х-2) 2 = 3х-8. 3) х 2 +9х+14 = 0. 4) 10х 2 =0,6-5х.

9 Знаки коэффициентов Знаки корней a >0b >0c 0b0c >0Одинаковые: оба отрицательные a >0b 0Одинаковые: оба положительные

10 Необходимость решать уравнения ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. ЗАДАНИЕ. ДОКАЖИТЕ, ЧТО ПРИ ЛЮБОМ ЗНАЧЕНИИ K УРАВНЕНИЕ 3У 2 -KУ-2=0 ИМЕЕТ ДВА КОРНЯ.

11 540а, 544б. Не решая уравнение, определить имеет ли оно корни или нет, определить знаки корней, если знаки разные, назвать знак большего по модулю корня: а) 4х 2 -7х-11=0; б) х 2 +2х-15=0; в) х 2 +3х+9=0. Задача: К Новому году в семье Ивановых каждый приготовил подарок, каждому из остальных членов семьи. Всего под елкой оказалось 30 подарков. Сколько членов в семье Ивановых?