1 Экзаменационная работа ученика 11 класса Повернова Дмитрия. Тема: Системы счисления : история, назначение, применение.

2 НУ ЧТО, ПРИСТУПИМ??

3 План работы: Введение. Введение. Введение. Введение. Виды систем счисления. Виды систем счисления. Виды систем счисления. Виды систем счисления. История развития информационных систем. История развития информационных систем. История развития информационных систем. История развития информационных систем. Представление чисел, а также информации в ЭВМ. Представление чисел, а также информации в ЭВМ. Представление чисел, а также информации в ЭВМ. Представление чисел, а также информации в ЭВМ. Арифметические операции в позиционных СС. Арифметические операции в позиционных СС. Арифметические операции в позиционных СС. Арифметические операции в позиционных СС. Применение систем счисления. Применение систем счисления. Применение систем счисления. Применение систем счисления.

4 «Все есть число» - так говорили древние мудрецы, подчеркивая важнейшую роль чисел в нашей жизни. Люди всегда пользовались числами, считали и записывали, даже пять тысяч лет назад люди уже знали числа. Но в любом случае каждое число изображалось с помощью определенных символов – цифр.

5 Цифры - это символы, участвующие в записи числа. А что же тогда число? Число – это некоторая величина, которая складывается из цифр по особым правилам. В разные времена и у разных народов эти правила были различны и сегодня их называют СИСТЕМАМИ СЧИСЛЕНИЯ.

6 Система счисления – это способ записи чисел с помощью цифр. Системы счисления: Системы счисления: -позиционные -позиционные -непозиционные -непозиционные Непозиционной называется такая СС, у которой вес цифры не зависит от ее местоположения в записи числа. Непозиционной называется такая СС, у которой вес цифры не зависит от ее местоположения в записи числа. Непозиционные СС появились раньше позиционных и имеют долгую историю развития. Непозиционные СС появились раньше позиционных и имеют долгую историю развития. В меню

7 История развития СС: 1) В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов изображалось с помощью черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности. Ученые назвали этот способ записи чисел единичной или унарной системой счисления. 1) В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов изображалось с помощью черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности. Ученые назвали этот способ записи чисел единичной или унарной системой счисления.

8 История развития СС: 2)Древнеегипетская десятичная СС. 2)Древнеегипетская десятичная СС. Данная СС возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э. Вместо цифр использовались специальные иероглифы. Данная СС возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э. Вместо цифр использовались специальные иероглифы. Именно из комбинации таких «цифр» записывались все числа и каждая «цифра» повторялась не более девяти раз: Именно из комбинации таких «цифр» записывались все числа и каждая «цифра» повторялась не более девяти раз:

9 История развития СС: Все числа составлялись из ключевых иероглифов при помощи обычного сложения. Все числа составлялись из ключевых иероглифов при помощи обычного сложения. Умножение и деление производили путем последовательного удвоения чисел. Умножение и деление производили путем последовательного удвоения чисел. Дроби в Египте тоже существовали и все они имели в числителе единицу (кроме числа 2/3) Дроби в Египте тоже существовали и все они имели в числителе единицу (кроме числа 2/3)

10 История развития СС: 3) Римская СС. 3) Римская СС. Данная СС не намного отличается от египетской СС, здесь только используются совершенно другие обозначения чисел: Данная СС не намного отличается от египетской СС, здесь только используются совершенно другие обозначения чисел: I – 1 C I – 1 C V - 5 D V - 5 D X - 10 M X - 10 M L - 50 L - 50

11 История развития СС: Римская СС подразделялась также на греческую СС. Правила этих СС были одинаковы, а обозначения различались: Римская СС подразделялась также на греческую СС. Правила этих СС были одинаковы, а обозначения различались: Г – пять Н - сто Г – пять Н - сто Δ – десять Х - тысяча Δ – десять Х - тысяча М – десять тысяч М – десять тысяч

12 История развития СС: 4) Алфавитные СС 4) Алфавитные СС 1ą аз аз 10ιи 100pрцы 2 введи 20κкако 200 слово 3 глаголь 30 люди 300 твердо 4 добро 40Mмыслете 400σук 5єесть 50Nнаш 500 ферт 6ѕзело 60ǯкси 600 ххэр 7zземля 70 оон 700Ψпси 8 ниже 80 покой 800ωомега 9Θфита 90¥червь 900Џцы

13 История развития СС: Данная таблица – пример написания цифр наиболее совершенной непозиционной СС, которой пользовались греки, финикийцы и славяне. Алфавитная система была принята и в Древней Руси. До конца 17 века люди использовали 27 букв кириллицы как цифры. Данная таблица – пример написания цифр наиболее совершенной непозиционной СС, которой пользовались греки, финикийцы и славяне. Алфавитная система была принята и в Древней Руси. До конца 17 века люди использовали 27 букв кириллицы как цифры.

14 История развития СС: Казалось бы, что непозиционные СС не совсем удобны. Но наши предки умели и записывали числа, равные 1000, и даже миллиону. Так, например, числа 1000, 2000, 3000… записывали теми же цифрами, что и 1, 2, 3…, только перед цифрой ставили слева снизу специальный знак - титла. Число обозначалось той же буквой, что и 1, только эту букву обводили кружком(это число называлось «тьма»). Число называли «легион», 10 легионов – «леорд». Самая большая из величин, имеющих свое обозначение, называлась «колода», она равнялась Считалось, что «боле сего несть человеческому уму разумевати».

15 История развития СС: Так как запись чисел с помощью алфавитной СС была достаточно сложна, то в старину на Руси среди простого народа широко применялись СС, отдаленно напоминающие римскую. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати – ясака и делали записи в податной тетради. Числа обозначали с помощью специальных символов: Так как запись чисел с помощью алфавитной СС была достаточно сложна, то в старину на Руси среди простого народа широко применялись СС, отдаленно напоминающие римскую. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати – ясака и делали записи в податной тетради. Числа обозначали с помощью специальных символов: - тысяча рублей - тысяча рублей - сто рублей - сто рублей - десять рублей - десять рублей - 1 рубль - 1 рубль - 10 копеек - 10 копеек - копейка - копейка

16 История развития СС: Алфавитные СС были мало пригодны для оперирования с большими числами. В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным системам. Алфавитные СС были мало пригодны для оперирования с большими числами. В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным системам. Позиционная СС – это такая СС, в которой вес цифры (количественный эквивалент) зависит от ее местоположения в записи числа. ( Например, число 222. В его записи используется трижды цифра 2, однако вклад каждой цифры в величину числа разный. Первая 2 – это число сотен, вторая – число десятков, третья – число единиц. Эти цифры различаются и по весу. В непозиционных СС такой принцип разделения отсутствует.) Позиционная СС – это такая СС, в которой вес цифры (количественный эквивалент) зависит от ее местоположения в записи числа. ( Например, число 222. В его записи используется трижды цифра 2, однако вклад каждой цифры в величину числа разный. Первая 2 – это число сотен, вторая – число десятков, третья – число единиц. Эти цифры различаются и по весу. В непозиционных СС такой принцип разделения отсутствует.)

17 История развития СС: Позиционных СС также несколько, но наиболее древние из них Вавилонская и Индийская мультипликативная системы. Позиционных СС также несколько, но наиболее древние из них Вавилонская и Индийская мультипликативная системы. Например, пусть десятки обозначаются символом X, тогда сотни – Y. Число 323 будет выглядеть так: 3Y2X3. Для записи одинакового числа единиц, десяток, сотен применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда. По такому принципу работают упомянутые выше СС. Например, пусть десятки обозначаются символом X, тогда сотни – Y. Число 323 будет выглядеть так: 3Y2X3. Для записи одинакового числа единиц, десяток, сотен применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда. По такому принципу работают упомянутые выше СС.

18 История развития СС: Наиболее важным открытием является нуль. Еще греческие астрономы использовали его для обозначения нулевого разряда ( ouden (греч) – ничто). Индийцы переняли нуль у греков и постепенно создали десятичную СС, которой мы пользуемся и по сей день. Ее в Европу завезли из Индии арабы, поэтому данная СС называется арабской. Наиболее важным открытием является нуль. Еще греческие астрономы использовали его для обозначения нулевого разряда ( ouden (греч) – ничто). Индийцы переняли нуль у греков и постепенно создали десятичную СС, которой мы пользуемся и по сей день. Ее в Европу завезли из Индии арабы, поэтому данная СС называется арабской.

19 ОООО сс инн ооо вввв инн ыыыы ее с с с с вввв ооо йййй сс тттт вввв аапа п п п п ооо заз ии ввц ии ооо инн инн ыыыы хох С С С С СССС :::: простота выполнения арифметических операций. простота выполнения арифметических операций. ограниченное количество символов, необходимых для записи числа. ограниченное количество символов, необходимых для записи числа. Примеры позиционных СС: Примеры позиционных СС: Название ОснованиеЦифры Используетс я Двоичная СС 20,1 В ЭВМ. Восьмеричная СС 8 0,1,2,3,4,5,6, 7 В ЭВМ. Шестнадцатер ичная СС 16 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9,A,B,C,D,E,F. В ЭВМ. Десятичная СС 10 0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9 В повседневной жизни 12-ричная 12 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9…. В мире до 20 века Пятеричная 50,1,2,3,4 В Китае В меню

20 Представление чисел в ЭВМ: все числовые данные хранятся в ЭВМ в двоичном виде, однако формы хранения целых и действительных чисел различны : целые числа хранятся в форме с фиксированной запятой. действительные числа хранятся в форме с плавающей запятой. Необходимость различного представления целых и действительных чисел вызвана тем, что скорость выполнения арифметических операций над числами с плавающей запятой существенно ниже скорости выполнения этих же операций над числами с фиксированной запятой.

21 Представление текстовых данных: Любой текст состоит из последовательности определенных символов (букв, знаков препинания и т.д.). Любой текст состоит из последовательности определенных символов (букв, знаков препинания и т.д.). Обратим особое внимание на символ «пробел» - хотя на экране и на бумаге пробел – пустое, свободное место, на клавиатуре ЭВМ ему соответствует специальная клавиша. Обратим особое внимание на символ «пробел» - хотя на экране и на бумаге пробел – пустое, свободное место, на клавиатуре ЭВМ ему соответствует специальная клавиша. Как и любая информация, текстовая информация хранится в ЭВМ в особом, закодированном (двоичном) виде. Как и любая информация, текстовая информация хранится в ЭВМ в особом, закодированном (двоичном) виде.

22 Представление текстовых данных: Для этого каждому символу ставится в соответствие некоторое неотрицательное число, называемое кодом символа, и это число записывается в память ЭВМ в двоичном виде. Конкретное соответствие между символами и их кодами называется системой кодировки. В современных ЭВМ, как правило, используются 8-разрядные коды символов (реже – 16- разрядные).Использование данных кодов позволяет закодировать 256 различных символов, что вполне достаточно для практических нужд. При этом код символа занимает ровно 1 байт памяти.

23 Представление графической информации в ЭВМ: Мониторы современных ПК могут работать в двух режимах: текстовом и графическом. Мониторы современных ПК могут работать в двух режимах: текстовом и графическом. В текстовом режиме экран разбивается на 25 строк по 80 символов в строке. Данный режим предназначен для вывода на экран монитора текстов и простых рисунков. В текстовом режиме экран разбивается на 25 строк по 80 символов в строке. Данный режим предназначен для вывода на экран монитора текстов и простых рисунков. В графическом режиме экран разделяется на отдельные светящиеся точки – пиксели. Любое графическое изображение хранится в памяти в виде информации о каждом пикселе на экране. Состояние каждого пикселя описывается последовательностью нулей и единиц, соответствующих кодировке его цвета. Такую форму представления изображений называют растровой. В графическом режиме экран разделяется на отдельные светящиеся точки – пиксели. Любое графическое изображение хранится в памяти в виде информации о каждом пикселе на экране. Состояние каждого пикселя описывается последовательностью нулей и единиц, соответствующих кодировке его цвета. Такую форму представления изображений называют растровой.

24 ПППП рррр ее дддд сс тттт аапа вввв лллл ее инн ии ее з з з з вввв уууу кккк ооо вввв ооо йййй и и и и инн фффф ооо рррр мммм аапа ввц ии ии :::: Развитие ЭВМ в последнее время позволяет записывать и воспроизводить на компьютерах музыку и человеческую речь. Существует 2 способа звукозаписи: Развитие ЭВМ в последнее время позволяет записывать и воспроизводить на компьютерах музыку и человеческую речь. Существует 2 способа звукозаписи: цифровая запись – реальные звуковые волны, которые преобразуются в цифровую информацию путем измерения звука тысячи раз в секунду. Этот процесс называется дискретизацией и возможен на компьютере, если на нем присутствует звуковая плата. Форматы звука: mp3, WAV и т.д. цифровая запись – реальные звуковые волны, которые преобразуются в цифровую информацию путем измерения звука тысячи раз в секунду. Этот процесс называется дискретизацией и возможен на компьютере, если на нем присутствует звуковая плата. Форматы звука: mp3, WAV и т.д. MIDI-запись – это не реальный звук, а запись определенных команд-указаний. MIDI-запись – электронный эквивалент нотной записи. MIDI-запись – это не реальный звук, а запись определенных команд-указаний. MIDI-запись – электронный эквивалент нотной записи. Существуют также видео файлы – это сложный синтез звуковой дорожки и графических изображений. Существуют также видео файлы – это сложный синтез звуковой дорожки и графических изображений. В меню

25 Арифметические операции в позиционных СС: Итак, мы выяснили, что в ЭВМ любая информация (графическая, текстовая и т.д.) кодируется и записывается с помощью всего двух цифр – нуля и единицы (двоичное кодирование). И над этими цифрами можно провести арифметические операции, такие как сложение и вычитание, умножение и деление. Рассмотрим это более подробно: Итак, мы выяснили, что в ЭВМ любая информация (графическая, текстовая и т.д.) кодируется и записывается с помощью всего двух цифр – нуля и единицы (двоичное кодирование). И над этими цифрами можно провести арифметические операции, такие как сложение и вычитание, умножение и деление. Рассмотрим это более подробно:

26 Арифметические операции в позиционных СС: 1) Перевод чисел из P-ичной СС в десятичную. 1) Перевод чисел из P-ичной СС в десятичную. Допустим, дано число в P-ичной СС. Требуется получить его запись в десятичной СС. Для этого представим данное число в развернутой форме a=a(n)*P(n)+a(n-1)*P(n-1)+…+a(1)*P+a(0) и воспользуемся алгоритмом решения данной задачи: Допустим, дано число в P-ичной СС. Требуется получить его запись в десятичной СС. Для этого представим данное число в развернутой форме a=a(n)*P(n)+a(n-1)*P(n-1)+…+a(1)*P+a(0) и воспользуемся алгоритмом решения данной задачи:

27 Арифметические операции в позиционных СС: - каждая цифра числа в P-ичной СС переводится в число в десятичной СС. - каждая цифра числа в P-ичной СС переводится в число в десятичной СС. - полученные числа нумеруются справа налево начиная с нуля (номера соответствуют степеням P в многочлене) - полученные числа нумеруются справа налево начиная с нуля (номера соответствуют степеням P в многочлене) - десятичное число, соответствующее каждой P-ичной цифре, умножается на P(k), где k- номер этого числа из пункта 2,и результаты складываются, причем все эти арифметические действия проводятся в десятичной СС. - десятичное число, соответствующее каждой P-ичной цифре, умножается на P(k), где k- номер этого числа из пункта 2,и результаты складываются, причем все эти арифметические действия проводятся в десятичной СС.

28 Арифметические операции в позиционных СС: Примеры перевода чисел: Примеры перевода чисел: 1) Переведем (2) – двоичное число в A(10): (2)=2^0+2^2+2^3+2^6=77(10) 1) Переведем (2) – двоичное число в A(10): (2)=2^0+2^2+2^3+2^6=77(10) 2) Переведем 2143(5) в A(10): 2143(5)=2*5^3+1*5^2+4*5+3=298(10) 2) Переведем 2143(5) в A(10): 2143(5)=2*5^3+1*5^2+4*5+3=298(10) Задания: 1) Перевести из B0F9(16) в А(10). 2) Перевести из 1101(2) в А(10). Задания: 1) Перевести из B0F9(16) в А(10). 2) Перевести из 1101(2) в А(10).

29 Арифметические операции в позиционных СС: 2) Сложение и вычитание. 2) Сложение и вычитание. Во всех традиционных СС эти арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам (согласно специальным таблицам). В P- ичной СС таблица сложения – это результат сложения каждой цифры алфавита P-ичной СС с любой другой цифрой этой же СС. Достаточно простой таблицей является таблица сложения в двоичной СС: Во всех традиционных СС эти арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам (согласно специальным таблицам). В P- ичной СС таблица сложения – это результат сложения каждой цифры алфавита P-ичной СС с любой другой цифрой этой же СС. Достаточно простой таблицей является таблица сложения в двоичной СС: В шестнадцатеричной СС такая таблица во много раз массивней и больше. В шестнадцатеричной СС такая таблица во много раз массивней и больше (2)

30 Арифметические операции в позиционных СС: Примеры сложения чисел: Примеры сложения чисел: 101,01(2) 21(3) – троичная СС 101,01(2) 21(3) – троичная СС + 1,11(2) + 2,1(3) + 1,11(2) + 2,1(3) ,00(2) 100,1(3) 111,00(2) 100,1(3) Задания: Сложите : (2) и 1110(2); 1234(5) и 4321(5). Задания: Сложите : (2) и 1110(2); 1234(5) и 4321(5).

31 Арифметические операции в позиционных СС: Вычитание из большего числа меньшего в P- ичной СС тоже производится столбиком аналогично вычитанию в десятичной СС с использованием все той же таблицы сложения в P-ичной СС. Вычитание из большего числа меньшего в P- ичной СС тоже производится столбиком аналогично вычитанию в десятичной СС с использованием все той же таблицы сложения в P-ичной СС. Примеры вычитания: Примеры вычитания: 101(2) 210(3) 101(2) 210(3) - 10,1(2) - 102(3) - 10,1(2) - 102(3) ,1(2) 101(3) 10,1(2) 101(3) Задания: 4321(5) (5); (2) (2). Задания: 4321(5) (5); (2) (2).

32 Арифметические операции в позиционных СС: 3) Умножение. 3) Умножение. Для выполнения умножения двух многозначных чисел в P-ичной СС надо иметь таблицу умножения в этой СС. Для выполнения умножения двух многозначных чисел в P-ичной СС надо иметь таблицу умножения в этой СС. Вычисление элементов такой таблицы представляет собой прибавление базовой цифры столбца к числу, стоящему на одну клетку выше. Вычисление элементов такой таблицы представляет собой прибавление базовой цифры столбца к числу, стоящему на одну клетку выше. Пример таблицы умножения для двоичной СС: Пример таблицы умножения для двоичной СС: *

33 Арифметические операции в позиционных СС: Пример умножения чисел: Пример умножения чисел: 10100(2) 10100(2) * 1010(2) Задания: * 1010(2) Задания: )1101(2)*1110(2) )1101(2)*1110(2) 101 2)4321(5)*123(5) 101 2)4321(5)*123(5) (2) (2)

34 АААА рррр ии фффф мммм ее тттт ии чччч ее сс кккк ии ее о о о о пппп ее рррр аапа ввц ии ии в в в в пппп ооо заз ии ввц ии ооо инн инн ыыыы хох С С С С СССС :::: 4) Деление. 4) Деление. При делении столбиком в P-ичной СС приходится в качестве промежуточных вычислений выполнять действия умножения и вычитания, а следовательно, используются таблицы умножения и сложения в данной P-ичной СС. При делении столбиком в P-ичной СС приходится в качестве промежуточных вычислений выполнять действия умножения и вычитания, а следовательно, используются таблицы умножения и сложения в данной P-ичной СС. Пример деления чисел: Пример деления чисел: 11110(2) | 110(2) 11110(2) | 110(2) - 110(2) | 101(2) Задания: - 110(2) | 101(2) Задания: ) (2):1110(2) ) (2):1110(2) 110 2)4322(5):3(5) 110 2)4322(5):3(5) В меню

35 Применение систем счисления: Применение систем счисления: В настоящее время СС используются в основном в компьютерной технике и в информационных технологиях, однако некоторые СС применяются в других науках (математике например) или даже в повседневной жизни (например, в Китае в настоящее время используют пятеричную СС). Поэтому можно сказать, что СС востребованы и широко используются. В настоящее время СС используются в основном в компьютерной технике и в информационных технологиях, однако некоторые СС применяются в других науках (математике например) или даже в повседневной жизни (например, в Китае в настоящее время используют пятеричную СС). Поэтому можно сказать, что СС востребованы и широко используются. В меню

36 Спасибо за внимание!!!! ** Конец **