Интерполирование функций

Постановка задачи: xx0x0 x1x1 x2x2 …xnxn yy0y0 y1y1 y2y2 …ynyn Функция задана таблично: Вычислить Вычислить: -сетка или узлы интерполирования (2) (1)

Постановка задачи: Построим функцию -интерполяционную функцию, удовлетворяющую условию: - условие интерполяции тогда считать

Функция аппроксимируется на каждом частичном отрезке прямой. Линейная интерполяция

Расчетные формулы линейной интерполяции (4) (5)

Квадратичная интерполяция - условие интерполирования

Получение расчетных формул - неизвестные переменные (6) - определитель Вандермонда

Алгоритм 1. Определить отрезок,содержащий 2. Решить систему (6), для определения: 3. Подставить в функцию при известных при известных коэффициентах коэффициентах a

Глобальная интерполяция алгебраическими многочленами (7) (8) (8) – СЛАУ из ( n+1 ) уравнения с определителем Вандермонда (7) существует и единственно - условие интерполирования

Интерполяционный многочлен Лагранжа (1) - многочлены n- ой степени - значения функций из таблицы (2) - условия интерполирования

Построение многочленов с i (x) (3)

(4) (5)(6) Построение многочленов с i (x) (продолжение)

Вид интерполяционного многочлена Лагранжа (7)(8) (9)

Запись интерполяционного многочлена Лагранжа через (10) (11) (12)

Частные случаи интерполяционного многочлена Лагранжа а) линейная интерполяция через точки (x i,y i ), (x i+1,y i+1 )

б) квадратичная интерполяция через точки ( x i-1,y i-1 ), (x i,y i ), (x i+1,y i+1 )

Погрешность интерполирования - остаточный член формулы Лагранжа Функция имеет (n+1) нулей следовательно, (n+2) нуля (13) (14) Пусть обозн. требуем

Погрешность интерполирования (продолжение) Из (13) получим, что

Верхняя оценка погрешности r n (x) (15)

Сходимость интерполяционного процесса Определение: равномерная сходимость означает, что при Определение: говорят, что интерполяционный процесс для функции y(x) сходится в точке,если существует

Интерполяционная формула Ньютона Разделенными разностями первого порядка называются отношения: отношения: По разделенным разностям первого порядка можно построить разделенные разности второго порядка: (1) (2)

Таблица разделенных разностей xy первая разделенная разность вторая разделенная разность … n-ая разделенная разность x0x0 y0y0 … y(x 0 ;x 1 ) … x1x1 y1y1 y(x 0 ;x 1 ;x 2 ) … y(x 1 ;x 2 ) …… y(x 0 ;…;x n ) x2x2 y2y2 …. …… … y(x n-2 ;x n-1 ;x n ) … …….y(x n-1 ;x n ) … xnxn ynyn …

Интерполяционные многочлены Ньютона (3) (4)