ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ Лекция 9 3 ноября 2009 Задача интерполяции (гладкого восполнения функций) - презентация

1 ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ Лекция 9 3 ноября 2009 Задача интерполяции (гладкого восполнения функций)

2 4. Задача интерполяции Функция Лебега и постоянная Лебега (данной сетки)

3 4. Задача интерполяции Постоянная Лебега – норма оператора алгебраической интерполяции!

4 4. Задача интерполяции Приведем (без доказательства) примерные оценки роста постоянной Лебега в зависимости от числа узлов сетки. Константа Лебега растет примерно как l N ~ 2 N для равномерной сетки и l N ~ ln(N) для сетки с чебышевским набором узлов. Доказано, что рост константы Лебега для последней сетки асимптотически стремится к минимально возможному, и сетка с чебышевскими узлами близка к оптимальной для задач интерполяции.

5 4. Задача интерполяции Итерполяционный полином в форме Ньютона Разделенные разности (разностные отношения)

6 4. Задача интерполяции Разделенные разности Разделенные разности нулевого порядка в точке t i совпадают со значениями функции Разности первого порядка определяются равенством

7 4. Задача интерполяции Разделенные разности разности порядка k по рекуррентной формуле

8 4. Задача интерполяции Свойства разделенных разностей (легко, метод математической индукции)

9 4. Задача интерполяции Свойства разделенных разностей Б) Конкурс на лучшее доказательство!

10 4. Задача интерполяции Таблица разделенных разностей

11 4. Задача интерполяции Интерполяционный полином в форме Ньютона

12 4. Задача интерполяции Таблица разделенных разностей

13 4. Задача интерполяции Полином в форме Ньютона – конечно- разностный аналог ряда Тейлора!

14 4. Задача интерполяции Интерполяция с кратными узлами

15 4. Задача интерполяции Интерполяционный полином Эрмита Пусть на концах отрезка [t 0, t 1 ] заданы значения f 0, f 1 и первые производные функции. Тогда

16 4. Задача интерполяции Интерполяция сплайнами (spline – гибкое лекало) Определение. Сплайном называется определенная на [a, b] функция, имеющая l непрерывных производных и являющаяся на каждом интервале (t n–1, t n ) многочленом степени m. Определение. Дефектом сплайна называется разность между степенью сплайна и показателем его гладкости l.

17 4. Задача интерполяции Кубический сплайн (Шонберга) Кубическим сплайном дефекта 1, интерполирующим на отрезке [a, b] заданную функцию f(t), называется функция S(t), удовлетворяющая следующим условиям: 1. S(t n ) = f(t n ) условие интерполяции в узлах сетки

18 4. Задача интерполяции Кубический сплайн На каждом отрезке [t n, t n+1 ], S(t) является кубическим многочленом; n = 0,…,N –1. 4. Граничные условия

19 4. Задача интерполяции Выбор граничных условий

20 4. Задача интерполяции Пример

21 4. Задача интерполяции Пример

22 4. Задача интерполяции Экстремальное свойство сплайна Шонберга

23 Задача интерполяции Теорема о существовании и единственности решения Интерполяционный кубический сплайн S(t), удовлетворяющий условиям 1–3 и одному из краевых условий 4, существует и единственен.

24 4. Задача интерполяции Доказательство На каждоим отрезке строим полином третьей степени. Для второй производной имеем Момент сплайна

25 4. Задача интерполяции Дважды интегрируем на отрезке

26 4. Задача интерполяции Из условия аппроксимации

27 4. Задача интерполяции Приравняем первые производные в узле справа и слева

28 4. Задача интерполяции Получим систему уравнений для моментов

29 4. Задача интерполяции AM = F,

30 4. Задача интерполяции Вопросы?