Даны середины сторон n-угольника. Требуется восстановить n- угольник по этим точкам.

А В С D E F ДАНО: А, В, С- середины сторон треугольника EDF. Построить треугольник EDF. ПОСТРОЕНИЕ: Соединим точки А,В,С отрезками. Через эти точки строим прямые параллельные сторонам треугольника АВС. ДОК- ВО: AD || BC, AB || DC => ABCD- параллелограмм => AD=BC; AE || BC, EB || AC => AEBC- параллелограмм => AE=CB. Значит DA= AE => A- середина DE. Аналогично доказывается про точки B и C.

Сколько таких треугольников можно построить? Пусть треугольник KLM удовлетворяет условию задачи, т.е. А - середина КМ, В- середина KL, а С - середина LM. ВС || КМ (по свойству средней линии треугольника), ВС || DЕ (по построению). Значит прямая DЕ совпадает с прямой КМ. Аналогично KL совпадает с ЕF, а МL совпадает с DF. Т.к. две прямые пересекаются только в одной точке, треугольники DEF и MKL совпадут. Таким образом, можно построить только один такой треугольник. Построение возможно, если точки А, В, С не лежат на одной прямой. B A C D E F M L K

Лемма Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника, является параллелограммом. G D A C E F G H B A C D E F B H

A C D E F G H Дано: А, В, С, D – середины сторон четырёхугольника EFGH. Построить четырехугольник EFGH. ПОСТРОЕНИЕ: Соединим точки A, B, C и D. Получился параллелограмм. Возьмем точку Е, лежащую вне АВСD. B Проведем отрезок EB. Построим окружность с центром в точке В и радиусом ЕВ. Проведя прямую через Е и В до пересечения с построенной окружностью, мы получаем вторую вершину четырехугольника F. С центром в точке А проводим окружность радиусом АЕ. Аналогично получаем точку Н.

С центром в точке D проводим окружность радиуса НD. Аналогично получаем точкуG. Докажем, что С – середина FG. Пусть С1 – середина FG. Прямые ВС и ВС1 параллельны EG, прямые DC и DC1 параллельны HF. Значит С совпадает с С1. B A C D F E G H

А B C D F E H G Таких четырехугольников можно построить бесконечно много, т.к. точку Е выбирали произвольно. В зависимости от выбора точки Е будут получаться выпуклые и невыпуклые четырехугольники.

Дано: А, В, С, D, Е- середины сторон пятиугольника GPMLN. Построить пятиугольник GPMLN. ПОСТРОЕНИЕ: Предположим, что у нас уже построен пятиугольник. Если провести диагональ PN, то образуются треугольник и четырехугольник. Найдя середину PN (точку F), мы можем восстановить этот треугольник и четырехугольник. Построим параллелограмм по точкам B, C, D. Образовавшаяся точка F будет являться серединой диагонали искомого пятиугольника. По AFE восстановим треугольник GPN. Далее строим четырехугольник PMLN. Единственность решения очевидна из методов построения. A B M C L D N E G P F

A B C D E F G H R P M N K O L S ДАНО: A, B, C, D, E, F, G- середины сторон семиугольника MNKOLSP. Построить семиугольник MNKOLSP. ПОСТРОЕНИЕ: Для начала рассмотрим вспомогательное утверждение. Предположим, что у нас уже построен семиугольник. Если провести диагонали KP и OP, то образуются 2 четырехугольника MNKP и POLS и треугольник PKO. Найдя середину KP (точку H) и середину OP (точку R), можем восстановить искомую фигуру. Значит, любой нечётноугольник мы можем построить, разбив его на треугольники и четырёхугольники. Причем, построение единственно.

A B C D E F G H P M N K L ДАНО: А, В, С, D, Е, K- середины сторон шестиугольника GHPMNL. Построить шестиугольник GHPMNL. ПОСТРОЕНИЕ: Для начала рассмотрим вспомогательное утверждение. Предположим, что у нас уже построен шестиугольник. Если провести диагональ HN, то образуются 2 четырехугольника. Найдя середину HN (точку F), мы можем восстановить эти 2 четырехугольника. Построим параллелограмм по точкам К, А, В. Образовавшаяся точка F будет являться серединой диагонали искомого шестиугольника. Выберем произвольную точку H.Начнем построение четырехугольников вокруг параллелограммов. Вполне очевидно, что вершина N нашего искомого шестиугольника является общей для 2 четырехугольников NLGH и NHPM, т.к. мы выбрали точку H произвольным образом, мы получаем, что мы можем построить бесконечно много шестиугольников по данным серединам их сторон. Таким образом, любой чётноугольник мы можем построить деля его на четырёхугольники.

Задача полностью решена для любых n- угольников. Для нечетноугольников возможно единственное решение, а для четноугольников их бесконечное множество.

Работу выполнила Басова Ксения 8 класс МАОУ ДОД «ЦДОД «Компьютерный центр» Научный руководитель Рысева Л.Н. Для выполнения презентации использовала следующие ресурсы: Программа Microsoft PowerPoint