Математика

Вопросы для исследования Нахождение количества делителей натурального числа. Нахождения числа с заданным количеством делителей.

Нахождение количества делителей Вид числа Делители числа Количество делителей 111 p1, p2 p2p2 1, p, p 2 3 p3p3 1, p, p 2, p 3 4 pkpk 1, p, p 2 …, p k k+1k+1 p 1 * p 2 1, p 1,p 2, p 1 *p 2 4=2*2 p 1 *p 2 2 1, p 1, p 2, p 2 2, p 1 *p 2, p 1 *p 2 2 6=2*3 p 1 2 *p 2 2 1, p 1, p 1 2, p 2, p 2 2, p 1 *p 2, p 1 2 *p 2, p 1 *p 2 2, p 1 2 * p 2 2 9=3*3 p 1 *p 2 3 1, p 1, p 2, p 2 2 *p 2 3, p 1 *p 2, p 1 *p 2 2, p 1 *p 2 3 8=2*4 p 1 α *p 2 β ………………………………..(α+1)(β+1)?

N=p 1 α *p 2 β 1p1p1 p12p12 …p1αp1α 1 1p1p1 p12p12 …p1αp1α p2p2 p2p2 P 1 *p 2 P 1 2 *p 2 …P 1 α *p 2 p22p22 p22p22 P 1 *p 2 2 P 1 2 *p 2 2 …P 1 α *p 2 2 … …………… p2βp2β p2βp2β P 1 *p 2 β P 1 2 *p 2 β …P 1 α *p 2 β

Вид числа ДелителиКоличество делителей числа p 1 *p 2 *p 3 1;p 1 ;p 2 ;p 3 ;p 1 *p 2 ;p 1 *p 3 ;p 2 *p 3 ; p 1 *p 2 *p 3 8=2*2*2 ……… p 1 α* p 2 β *p 3 γ …(α+1)(β+1)(γ+1)...…… P 1 α1 *p 2 α2 …p n αn …(α 1 +1)(α 2 +1)…(α n +1)

Правило нахождения количества делителей натурального числа 1) Разложить число на простые множители. N=p 1 β1 *p 2 β2 ………… p n βn 2) K=(β 1 +1)(β 2 +1)………………(β n +1)

Количество делителей числа N Вид числа 1N = 1N = 1 2N = pN = p 3N = p2N = p2 5N = p4N = p4 7N = p6N = p6 q (простое число)N = p q-1 Нахождение числа с заданным количеством делителей Если количество делителей выражено простым числом q, то само число имеет вид p q-1

Пример 1 Найти число, которое делится на 7 и имеет ровно 3 делителя. Решение q=3 p=7 N=7 2 =49 Пример 2 Найти число, которое делится на 11 и имеет ровно 11 делителей Решение q=11 p=11 N=11 10

Количество делителей Вид числа 4 = 1*4 = 2*2 6 = 1*6 = 2*3 8 = 1*8 = 2*4 = 2*2*2 12 = 1*12 = 2*6 = 3*4 = 2*2*3 … K = 1*K = α*β = … = γ*δ*…*λ p 3 ; p 1 *p 2 p 5 ; p 1 *p 2 2 ; p 7 ; p 1 *p 2 3 ; p 1 *p 2 *p 3 p 11 ; p 1 *p 2 5 ; p 1 2 *p 2 3 ; p 1 *p 2 *p 3 2 … p k-1 ; p 1 α-1 *p 2 β-1 ; … ; p 1 γ-1 *p 2 δ-1 *p n λ-1 Правило нахождения вида числа с заданным количеством делителей 1.Число, равное количеству делителей, разложить на множители всеми возможными способами. 2. Для каждого разложения записать соответствующий вид числа.

Задача 1 Найти все натуральные числа, последняя цифра которых = 0 и которые имеет ровно 15 натуральных делителей. Число делителей 15. Определяем вид числа N: N=p 14 или 15=3*5 ; N=p 1 2 *p 2 4, где p;p 1 ;p 2 – простые числа. Т.к. Число p 14 оканчиваться нулем не может, то N=p 14. Пусть N=p 1 2 *p 2 4, где p 1 ;p 2 – простые числа. Тогда p 1 и p 2 это 2 и 5 N=2 2 *5 4 =2500 N=5 2 *2 4 =400 Ответ: 2500; 400;

Задача 2 Найти все натуральные числа,которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя? N =42n, среди его делителей есть простые числа 2; 3; 7; Количество делителей 42. Раскладываем на 42 множители. 42=1*42 42=2*21 p 1 *p =3*14 p 1 2 *p =6*7 p 1 5 *p =2*3*7 p 1 *p 2 2 *p 3 6 N=p 1 *p 2 2 *p 3 6 Ответ: N=2*3 2 *7 6 N=2*7 2 *3 6 N=3*2 2 *7 6 N=3*7 2 *2 6 N=7*2 2 *3 6 N=7*3 2 *2 6

Работу выполняла ученица 7 а класса школы 4 Калюжная Маргарита. Научный руководитель Рысева Людмила Николаевна