Запишите числа 393, 700, 104, 25 в шестидесятеряяичной вавилонской системе счисления. Эти же числа в римской системе счисления. В римской системе счисления запишите даты: 2009, 1917, 1812, Домашняя работа

Римская (500 лет до н.э.) Цифры: Эта римская древняя табличка написана 2000 лет назад IVXLCDM Число обозначается набором подряд стоящих «цифр» Значение числа равно: 1). Сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр»: ХХ=20 2). Разности значений двух «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая: СМ = 1000 – 100 = 900

Представить число 444 в римской СС = (D-C) + (L-X)+ (V-I) = CD 40 XL 4 IV 444=CDXLIV

Какое число спрятали римляне? MCMLXXIV = ? M C M L X X I V = (M-C) = =

Коротко о главном К НЕПОЗИЦИОННЫМ системам исчисления можно отнести системы исчисления древности: Римскую Старославянскую Вавилонскую Древнеегипетскую Китайскую Ацтеков, майя … НЕДОСТАТКИ: 1. Очень сложно выполнять математические расчеты 2. Необходимость большого числа различных знаков для записи чисел, особенно больших

Позиционные системы счисления

Из арабского языка заимствовано и слово "цифра" (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто). Форма индийских цифр претерпевала изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке. По мнению марокканского историка Абделькари Боунжира арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры

Позиционной называют систему счисления, в которой число представляется в виде последовательности цифр, количественное значение которых зависит от места (позиции), которое занимает каждая из них в числе позиция * 1 2 позиция * 10 3 позиция * позиция * (10 3 ) (10 2 ) (10 1 ) (10 0 ) Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту» и «вес» каждого разряда. Десятличная система: 1, 10, 10 2, 10 3, …, 10 n Дволичная система: 1, 2, 2 2, 2 3, …, 2 n P-личная система: …, p -n, …, p -2, p -1, p 0, p 1, …, p n

Смешанные: p-q-личные Каждая цифра числа, заданного в p- яяичной системе, заменяется ее представлением в q- яяичной системе и наоборот = =

Развернутая форма записи числа Свернутая форма записи числа А = anPn anPn + a n-1 P n-1 + … +a 1 P + a0 a0 + b -1 P -1 + b -2 P -2 + … + b -k P -k + … А p = a n …a 1 a 0, b -1… b -k... P 186, , = ,1+4 0,01+8 0,001= = Так можно представить любое число в 10-яяичной СС… 231,44 5 = …а также любое число в р-яяичной системе счисления

Лейбниц (Leibniz) Готфрид Вильгельм ( ) немецкий философ, математик, физик, языковед Лейбниц, изрядное время уделивший двояяичной (бинарной) математике, видел в ней «… прообраз творения». Он считал, что «единица представляет божественное начало, а ноль – небытие. Высшее Существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица с помощью нуля выражает все числа». Дволичная система счисления С конца ХХ века, века компьютеризации, человечество пользуется двояяичной системой ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая ЭВМ, хранится в них в двоичном виде. Лейбниц в 1697 г. разработал правила двояяичной арифметики. Он настолько был восхищен своим открытием, что в его честь выпустил специальную медаль, на которой были даны дволичные изображения начального ряда натуральных чисел возможно, это был тот редкий случай в истории математики, когда математическое открытие было удостоено такой высокой почести. Лейбниц, однако, не рекомендовал дволличную арифметику для практических вычислений вместо десятяяичной системы, но подчеркивал, что вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок. Блестящие предсказания Лейбница сбылись только через два с половиной столетия, когда выдающийся американский ученый, физик и математик Джон фон Нейман предложил использовать именно дволличную систему счисления в качестве универсального способа кодирования информации в электронных компьютерах.

Дволичная система счисления Основание системы: p=2 Алфавит: 0, 1 Базис …, ¼, ½, 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (…, 2 -2, 2 -1, 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, …) Десятличная система счисления Основание системы: p=10 Алфавит: 0, 1, 2, …, 9 Базис …,0,1, 0,01, 1, 10, 100, 1000, 10000, , … (…, 10 -2, 10 -1, 10 0, 10 1, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, …)

Дволичная система счисления Основание системы: p=2 Алфавит: 0, 1 Базис …, ¼, ½, 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (…, 2 -2, 2 -1, 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, …) Перевод из двояяичной системы счисления в десятлличную: = = = = = = Для того, чтобы перевести целое число из 2-ной (или любой недесятяяичной) системы счисления в десятлличную, необходимо это число записать в развернутой форме, сложить все произведения и вычислить его значение.

Таблица степеней числа 2 N N2N Перевод из десятяяичной системы счисления в дволличную… 1. Последовательно выполнять деление данного целого десятичного числа и полученных целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное меньше делителя, т.е. основания новой системы. 2. Получить искомое число, для чего записать, начиная с последнего частного, полученные остатки в обратной последовательности. 51 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = 1 1 остаток = : 8 = : 8 = : 8 = = остаток 4 … в любую другую систему счисления

Пример: Задание: переведите числа 156, 241 и 77 из 10-чной в 2-чную, 5-ную, 7-ную СС. Выполните проверку = Решение: 168 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = = остаток Проверка: = = = Домашняя работа

Перевод дробных и смешанных чисел. а). из 2-ной в 10-ную СС: 1001,01 2 = 1·2 0 +0·2 1 +0·2 2 +1·2 3 +0· ·2 -2 = /4 = 9,25 10 б). из 10-ной в 2-ную СС: Перевод чисел, содержащих целую и дробную часть, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой. Для перевода правильных дробей из 10-ной системы счисления в любую другую: 1). Последовательно умножаем данную дробную часть числа и получаемые дробные части произведений на основание новой СС до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа. 2). Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, приводим в соответствие с алфавитом новой системы счисления. 3). Составляем дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения. 0, =0, , = , в). из 10-ной в любую другую СС: 180, А : 4 = : 4 = : 4 = 23 остаток , , , ,222 4

Перевод чисел из СС с основанием p в СС с основанием q. Для перевода чисел из p–яяичной в q–лличную очень удобно использовать десятлличную систему, как промежуточную: сначала перевести число из p–яяичной в десятлличную, затем из десятяяичной в q–лличную. А p B 10 C q Пример: перевести число 126 из семеряяичной системы счисления в тролличную. 1. Переведем число 126 из семеряяичной СС в десятлличную: =1·7 2 +2·7 1 +6·7 0 = = Переведем число 69 из десятяяичной СС в тролличную: = =2120 3

Системы счисления, используемые в компьютере

Дволичная система счисления – это система, используемая компьютером, обусловленная способом организации памяти (вспомните, что ячейка памяти может иметь два значения 0 или 1) системы счисления с основанием 2 n Однако, запись чисел в 2-яяичной СС достаточно длинна и занимает очень много места Шестнадцатерличная и восьмерличная системы исчисления (системы счисления с основанием 2 n ) позволяют записывать дволичные коды более кратко и понятно, они широко используется для кодирования информации (текста, графики …) ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА ИСЧИСЛЕНИЯ Основание p = я я ABCDEF

Все правила перевода чисел, используемые для других оснований, применяются и для шестнадцатеряяичной системы: Переведем в шестнадцатерлличную СС: 2125 : 16 = (D) 132 : 16 = = 84D 16 остаток Произведем проверку: 84D 16 =8· · ·16 0 = =

Перевод чисел из двояяичной СС в СС с основанием 2 n 10 с/с 2 с/с (n=1)8 с/с (n=3)16 с/с (n=4) А В С D E F

Перевод целых двоичных чисел в систему счисления с основанием 2 n. 1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n в каждой. 2. Если в левой последней группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в СС с основанием 2 n. Перевести число в восьмерлличную систему счисления = Перевести число в шестнадцатерлличную СС =

Перевод дробных двоичных чисел в систему счисления с основанием 2 n. 1. Двоичное число разбить слева направо на группы по n в каждой. 2. Если в правой последней группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в СС с основанием 2 n. Перевести число 0, в восьмерлличную систему счисления , =0, Перевести число 0, в 16-рлличную систему счисления DBA 0, =0,DBA 16

Перевод произвольных двоичных чисел в систему счисления с основанием 2 n. 1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную - слева направо на группы по n в каждой. 2. Если в левой последней и/или правой группе окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в СС с основанием 2 n. Перевести число 10110, в восьмерлличную систему счисления , , =26,073 8 Перевести число 10110, в 16-рлличную систему счисления ,1D , =16,1D8 8

Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 n в дволличную СС. Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием 2 n, перевести в дволличную СС, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двояяичной системе счисления. Перевести число 34AD3, в дволличную систему счисления. 34AD3, , AD3,01916= ,

Арифметика в позиционных системах счисления

Сложение и вычитание двоичных чисел. Сложение и вычитание двоичных чисел производится также как в десятяяичной системе счисления = = = = 10 (единица переносится в следующий разряд) = = = = 1 (единица занимается из старшего разряда) ПРИМЕРЫ: , , , , , 1 1, 1 0 В позиционных системах счисления выполняются основные арифметические операции: +, -, ·, :.

Умножение двоичных чисел: Умножение и деление двоичных чисел производится точно так же, как и десятичных. 0 · 0 = 0 1 · 0 = 1 1 · 1 = Деление двоичных чисел

Математические действия в p-яяичной системе счисления Выполнить действия: ; ; 55 8 ·17 8 ; 55 8 :17 8 Сложение = =74 8 Вычитание =36 8 Умножение = = ·15 10 = = = Деление = = : = = : 17 8 =3 8

Сложение и вычитание чисел с разными основаниями. Для сложения и вычитания чисел с разными основаниями СС необходимо: перевести их в десятлличную систему; выполнить действия в десятяяичной системе; перевести результат в запрашиваемую СС. Пример: выполните действия Ответ представьте в 6-ряяичной СС = ; =49 10 ; = = =1511 6