Синхронизация хаотических систем Лекции по спецкурсу для студентов обучающихся по программе PhD- докторантура. Кафедра нелинейной физики и электроники автор: д.ф.-м.н., проф. Жанабаев З.Ж.

Лекция 1. Введение Аннотация: В лекции рассматривается одно из фундаментальных нелинейных явлений в естествознании. Одна из главных тенденции в мире - тенденция к достижению общих ритмов взаимного поведения или, другими словами, тенденция к синхронизации. Под синхронизацией обычно понимается процесс достижения связанными объектами различной природы общего ритма функционирования. С проявлением синхронизации можно встретиться в физике, биологии, химии, технике, экономике, науках о жизни, медицине и т.д. Возможна синхронизация как двух элементов так и в ансамблях, состоящих из сотен и тысяч элементов. В радиофизике интенсивно исследуется коллективное поведение лазеров, микроволновых генераторов, сверхпроводящих джозефсоновских контактов. В радиотехнике, радиоизмерениях и радиосвязи синхронизация используется для синтеза и стабилизации частоты генераторов, для демодуляции сигналов в доплеровских системах, в системах точного времени и т.д.. В механике эффект синхронизации нашел широкое применение при конструировании различных вибро-технических устройств. В качестве примеров биологических ансамблей, в которых наблюдается синхронизация приведем: колонии одновременно вспыхивающих светлячков; клетки, формирующие сердечный ритм; вырабатывающие инсулин клетки в поджелудочной железе; группы сверчков, щебечущих в унисон; ячейки в тонкой кишке млекопитающих;

нейронные ансамбли, обеспечивающие ритмичную деятельность в мозгу и т.д. Проблемы синхронизации также очень важны при проектировании компьютеров с параллельной архитектурой. Синхронизации имеет место в химических реакциях, колебаниях. В связи с чрезвычайно широким распространением синхронизации в природе, науке и технике потребность изучения этого явления и его применений обусловила появление специального раздела в теории нелинейных колебаний и волн - теории синхронизации. Существенный вклад в ее развитие на ранних этапах внесли Б. Ван дер Поль (van der Pol), Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, A.A. Андронов, A.A. Витт, H.H. Боголюбов. В дальнейшем благодаря работам B.C. Афраймовича, B.C. Анищенко, В.Н. Белых, И.И. Блехмана, A.B. Гапонова-Грехова, A.C. Дмитриева, М.А.Закса, П.С. Ланды, Ю.Л. Майстренко, А.Н. Малахова, Ю.И. Неймарка, В.И. Некоркина, A.C. Пиковского, Д.Э. Постнова, М.И. Рабиновича, М.Г. Розенблюма, Ю.М. Романовского, Н.Ф. Рулькова, Р.Л. Стратоновича, Р.В. Хохлова, В.Д. Шалфеева, В.В. Шахгильдяна, Л.П. Шильникова, Б. Эрментроута (Ermentrout), Н. Копелл (Kopell), Л. Пекоры (Ресога), Т. Керролла (Carroll), К. Канеко (Kaneko), Ю. Курамото (Kuramoto), Ю. Куртса (Kurths), С. Строгатца (Strogatz), В. Линдсея (Lindsey), A. Уинфри (Winfree), С. Боккалетти (Boccaletti), Е.Отта (Ott), Л. Гласса (Glass), Э. Мозекильда (Mosekilde) и др. теория синхронизации стала мощным научным направлением в современной нелинейной динамике. Синхронизация автоколебаний – одно из фундаментальных нелинейных явлений природы. Его можно рассматривать как простейший пример самоорганизации взаимодействующих систем. Под синхронизацией обычно понимают установление некоторых соотношений между характерными временами, частотами или фазами колебаний парциальных систем в результате их взаимодействия.

Рис Х.Гюйгенс ( ) знаменитый голландский математик астроном и физик. Впервые наблюдал синхронизацию двух настенных (маятниковых) часов. Среди его основных достижений – открытие первого спутника Сатурна и истинной формы его колец. Эффект синхронизации, открытый Гюйгенсом ещё в XVII веке, привлёк к себе особый интерес учёных в двадцатом столетии в связи с развитием науки и техники. Литература: 1)А.Пиковский, М.Розенблюм, Ю Куртс. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление (2003) 2)А.П. Кузнецов. Нелинейные колебания (2006) 3)В.С. Анищенко., и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах (2003) 4)В.С. Анищенко. Знакомство с нелинейной динамикой. (2008)

Лекция 2. Что такое Синхронизация? Аннотация: В лекции излагаются основные понятия теории синхронизации как, осциллирующий объект, автоколебательная система, подстройка ритмов, захват фаз и частот.

2.1 Автоколебательная система: Модель естественного осциллятора

2.2 Связь между колебательными системами.

2.3 Подстройка ритмов: захват фаз и частот 1. Сила связи

2. Расстройка по частоте

Лекция 3. Что не является синхронизацией 1. Не бывает синхронизации без колебаний в автономной системе. Аннотация: В лекции рассматривается критерии и условии синхронизации. Показано принципиальное отличие синхронизации от явлений резонанса. Чтобы показать различие синхронизации от других эффектов приводится разные примеры из живой и неживой природы.

2. Синхронное изменение двух переменных – это не всегда синхронизация

3. Слишком сильная связь делает систему единой

Литература: А.Пиковский, М.Розенблюм, Ю Куртс. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление (2003) А.П. Кузнецов. Нелинейные колебания (2003)

Лекция 4. Автоколебательная система под внешним периодическим воздействием: Синхронизация Рассмотрим некоторую нелинейную диссипативную систему, в которой реализуется режим периодических автоколебаний. Образом установившегося режима в фазовом пространстве будет предельный цикл – замкнутая фазовая траектория, к которой приближаются все другие траектории. Далее, введем дополнительно внешнее периодическое воздействие на систему, такое, что его временной период близок к периоду автономных колебаний. При этом обнаруживается замечательное явление: в определенном интервале частоты внешней силы колебания системы синхронизируются с внешним воздействием по частоте (или, что то же самое, по периоду), причем упомянутый частотный интервал (полоса синхронизации) тем шире, чем больше интенсивность воздействия. Этот эффект – синхронизация внешней силой наблюдается в системах самой разной природы – в радиотехнических и электронных устройствах, в лазерах, в механических системах, в колебательных химических реакциях, в биологических объектах. Кроме синхронизации на частоте воздействия может реализоваться также синхронизация Цель данной лекции: Исследовать систему под внешним периодическим воздействием, глубже рассмотреть основные понятия и термины, как автоколебания, синхронизация, фаза, квазипериодичность, нелинейная система и.т.д.

на гармониках и субгармониках, когда частоты воздействия и отклика кратны друг другу или, в самом общем случае, находятся в некотором рациональном отношении. Принципиальное значение для понимания эффекта синхронизации имеет то обстоятельство, что периодические автоколебания в отсутствие внешнего воздействия на систему характеризуются фазой, различные значения которой равно допустимы. Если на систему, совершающую автоколебания, подействовать толчком, то она вновь придет в режим стационарных автоколебаний с той же амплитудой, но, вообще говоря, с другой фазой. Если же внешнее воздействие периодическое и осуществляется постоянно, то даже при малой его амплитуде возникающий сдвиг фазы может постепенно накапливаться, так что за достаточно большое время фаза окажется сдвинутой на большую величину. Представим себе, что в одном интервале значений фазы собственных колебаний системы относительно внешнего воздействия эта фаза дрейфует в одну сторону, а в другом – в другую. Ясно, что в итоге система придет в точку, отвечающую смене направления дрейфа относительной фазы, и там останется. Это и будет режим синхронизации. Если мы имеем две слабо связанные автоколебательные системы, то можно сказать, что каждая из них осуществляет внешнее воздействие на другую. Результатом часто оказывается возникновение такого установившегося режима, в котором колебания в обеих системах происходят синхронно, с одной и той же частотой, с одним и тем же периодом. В современной нелинейной динамике сформировался гораздо более широкий взгляд на синхронизацию, нежели в классической теории колебаний. Действительно, как мы теперь знаем, автоколебания могут быть представлены не только периодическими, но и более сложными режимами, в том числе квазипериодическими и хаотическими.

При каждой возможной комбинации типов режима в воздействующей и ведомой системах может возникнуть такая ситуация, что динамика второй системы воспроизведет определенные характеристики динамики первой. В этом случае мы вправе говорить о синхронизации в некотором обобщенном смысле. При однонаправленной связи подсистем это можно интерпретировать как синхронизацию системы внешним сигналом – регулярным или хаотическим. При наличии взаимного воздействия двух систем друг на друга может возникать множество разнообразных режимов взаимной синхронизации. Это эффект взаимной синхронизации связанных систем. Если совокупность двух или более связанных автоколебательных элементов рассматривается как единая система, то их взаимную синхронизацию естественно трактовать как внутреннюю синхронизацию присущих этой системе колебательных мод («захват мод»). Литература: 1)А.Пиковский, М.Розенблюм, Ю Куртс. Синхронизация- Фундаментальное нелинейное явление (2003) 2)А.П. Кузнецов. Нелинейные колебания 3)В.С. Анищенко., и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах (2003) 4)В.С. Анищенко. Знакомство с нелинейной динамикой. (2008) 5)Boccaletti S., Kurths J., Osipov G. et al. The synchronization of chaotic systems. Physics Reports, 366 (2002) 1. 6)Hramov A.E., Koronovskii A.A. Generalized synchronization: a modified system approach. Phys. Rev. E. 71 (2005)

Лекция 5. Осциллятор Ван-дер-Поля под периодическим внешним воздействием. Исходная модель и укороченное уравнение для медленной амплитуды Аннотация: Рассматривается основные базовые конфигурации ансамбля осцилляторов. Подробно рассматривается основные модели как, осциллятор Ван дер Поля, осциллятор Ресслера и система Лоренца. Как указывалось в предыдущих лекциях, простейшая модель автоколебательной системы с двумерным фазовым пространством описывается уравнением Ван-дер-Поля. Добавим в это уравнение внешнее периодическое воздействие, дописав дополнительный член, зависящий от времени по гармоническому закону: Здесь параметр b определяет безразмерную амплитуду, а ω – частоту воздействия, отнесенную к частоте малых собственных колебаний осциллятора. Если система находится недалеко от порога возникновения автоколебаний (λ невелико), амплитуда колебаний и амплитуда воздействия малы, а частота воздействия близка к частоте малых колебаний (ω близко к 1), то можно воспользоваться каким-либо вариантом метода медленно меняющихся амплитуд, например, методом Ван-дер-Поля (1)

Будем искать решение уравнения (1) в виде квазигармонического колебания с медленно меняющейся амплитудой A(t): (2) где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Как обычно, на комплексную амплитуду A удобно наложить дополнительное условие (3) Вычислим величины x и x и подставим эти выражения в уравнение (2), учитывая, что. Далее умножим обе части на и проведем усреднение за период, считая комплексную амплитуду медленно меняющейся функцией времени. В результате приходим к укороченному уравнению (4) Далее удобно ввести перенормированные величины с тем, чтобы уменьшить количество параметров в уравнении. Заметим, что нас интересует случай, когда автономная система совершает автоколебания, т.е. λ>0. Полагая (5)

перепишем уравнение (4) в новых переменных. (6) где теперь точка означает производную по τ, параметр ε характеризует амплитуду внешнего воздействия, а – отстройку частоты воздействия от собственной частоты автоколебаний. Часто бывает удобно представить комплексную амплитуду в виде Тогда из уравнения (6) получаем (7) Умножим уравнение на и отделим действительную и мнимую части: (8) Полученная система дифференциальных уравнений имеет второй порядок и допускает дальнейшее аналитическое исследование. Литература: 1)А.Пиковский, М.Розенблюм, Ю Куртс. Синхронизация- Фундаментальное нелинейное явление (2003) 2)В.С. Анищенко., и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах (2003) 3)В.С. Анищенко. Знакомство с нелинейной динамикой. (2008)

Лекция 6. Приближение малых амплитуд воздействия и уравнение для фазы Цель данной лекции: Рассмотреть основные понятия как язык Арнольда, уравнение Адлера, критерии синхронизации. Предположим, что амплитуда воздействия невелика, т.е. параметр ε мал. В нулевом порядке по ε из первого уравнения (8) найдем амплитуду установившихся колебаний R=1 и подставим ее во второе уравнение. (Поскольку во втором уравнении соответствующий член содержит множитель ε, при этой подстановке мы вправе использовать нулевой порядок аппроксимации для R.) В результате приходим к замкнутому уравнению для единственной переменной – фазы колебаний системы по отношению к внешнему воздействию: (1) В зарубежной литературе его называют уравнением Адлера. Рис.4.1. График потенциальной функции при различных значениях ε/.

Введем функцию и перепишем уравнение (1) в виде. С точки зрения формы потенциальной функции, существенной является ее зависимость от отношения ε /. При ε / 1 потенциальная функция становится неоднозначной, имеет максимумы и минимумы (рис. 4.1). На рис. 4.2 показаны области, где реализуется первая и третья ситуации на плоскости параметров (,ε). Критическая ситуация имеет место на разграничивающих линиях =±ε. Рис.4.2. Область синхронизации или язык Арнольда (серый цвет) на плоскости расстройка частот – амплитуда воздействия ε

Динамику фазы можно наглядно представить, как скольжение частицы по потенциальному профилю в вязкой жидкости (рис. 4.3). При ε/ 1 «частица» должна будет остановиться в одном из минимумов потенциальной функции, что соответствует режиму синхронизации: фаза колебаний системы относительно фазы воздействия перестает меняться во времени. Точка остановки определяется формально из условия минимума потенциала, Рис Динамика фазы по аналогии со скольжением частицы по потенци- альному профилю в вязкой жидкости: (а) при ε/ <1, когда синхронизации нет (частица соскальзывает вниз), и (б) при ε/ >1, когда фаза колеба- ний системы становится фиксированной по отношению к фазе воздейст- вия: (частица останавливается в потенциальном минимуме).

Если мы фиксируем амплитуду воздействия ε и изменяем его частоту (т.е. параметр ), то синхронизация достигается в определенном интервале значений расстройки 0, и, следовательно, фазовая переменная ϕ нарастает во времени. В области, где она проходит ниже проведенной прямой, правая часть отрицательна, ϕ <0, и фазовая переменная φ убывает. Точки, где прямая пересекается с синусоидой, отвечают состояниям равновесия, одно из них устойчивое, а другое неустойчивое. При увеличении /ε горизонтальная прямая располагается все выше, и обе точки равновесия приближаются друг к другу. В момент /ε=1 они сливаются, и затем, при /ε>1, исчезают. Итак, внутри языка Арнольда (при ||<ε) установившийся режим системы – это синхронизованное состояние, которому отвечает устойчивая неподвижная точка уравнения (1). В этом режиме амплитуда колебаний постоянна, а частота равна частоте внешнего воздействия (фаза φ не меняется во времени).

Рис К пояснению природы бифуркации на границе области синхронизации. Показан график функции sin(φ) и горизонтальные линии на уровне /ε, когда эта величина меньше, равна, и больше единицы. Стрелки показывают направление изменения фазовой переменной во времени. Литература: 1)А.Пиковский, М.Розенблюм, Ю Куртс. Синхронизация- Фундаментальное нелинейное явление (2003) 2)А.П. Кузнецов. Нелинейные колебания 3)В.С. Анищенко., и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах (2003) 4)В.С. Анищенко. Знакомство с нелинейной динамикой. (2008) 5)Boccaletti S., Kurths J., Osipov G. et al. The synchronization of chaotic systems. Physics Reports, 366 (2002) 1. 6)Hramov A.E., Koronovskii A.A. Generalized synchronization: a modified system approach. Phys. Rev. E. 71 (2005)

Лекция 7. Бифуркации, сопровождающие возникновение синхронизации, на фазовой плоскости. Наше рассмотрение в предыдущих лекциях относилось к случаю малых амплитуд и основывалось на уравнении первого порядка для фазы. Теперь мы намерены вернуться к исходному укороченному уравнению (6), анализ которого вскрывает более широкую картину явлений, сопровождающих эффект синхронизации. На рис. 4.1 показан вид плоскости параметров (, ε), получаемый при анализе уравнения (6). Аннотация: Рассматривается бифуркационные диаграммы анализ которого раскрывает более широкую картину явлений, сопровождающих эффект синхронизации. Рассматриваются бифуркации седло-узел, Хопфа, а также бифуркации коразмерности -2. Рис Бифуркационные линии и области различных режимов на плоскости параметров расстройка частоты – амплитуда внешнего воздействия для укороченного уравнения (6)

Начнем с того, что установим связь с уже изученным случаем: проследим, что происходит на фазовой плоскости укороченного уравнения (x=Re z, y=Im z), когда мы переходим границу области синхронизации при малой амплитуде воздействия. Если внешнее воздействие выключено, ε=0, и расстройка велика, то на фазовой плоскости укороченного уравнения имеется замкнутая траектория – устойчивый предельный цикл, представленный окружностью единичного радиуса, к которому асимптотически приближаются другие траектории. Имеется также неустойчивый фокус в начале координат (рис. 4.2 а). Качественно таким же образом устроена при большой расстройке фазовая плоскость и в присутствие внешнего воздействия (рис. 4.2 б). По мере уменьшения параметра неустойчивая точка вблизи начала координат становится узлом (рис. 4.2 в). Что касается движения на предельном цикле, то при приближении на плоскости параметров к границе области синхронизации, в одном определенном месте предельного цикла перемещение изображающей точки по нему становится очень медленным, и она вообще останавливается, когда мы приходим на границу зоны. При входе в область синхронизации на фазовой плоскости по-прежнему присутствует замкнутая инвариантная кривая (кривая, составленная из фазовых траекторий) – бывший предельный цикл. Но теперь она содержит два куска, по которым движение происходит в противоположных направлениях. На этой кривой имеется две неподвижные точки, одна устойчивая (узел), а другая неустойчивая (седло) (рис. 4.2 г). Бифуркация, которую мы здесь имеем, носит название седло-узловой или касательной бифуркации. (Второй термин предпочтителен, когда рассмотрение ведется в одномерном приближении: происхождение его можно пояснить с привлечением рис. 4.4: бифуркация как раз соответствует моменту касания прямой и синусоиды.) В нижней части языка синхронизации, которая показана

серым цветом на рис. 4.2, мы имеем на фазовой плоскости в общей сложности три неподвижные точки две неустойчивые и одну устойчивую. При приближении к верхней границе этой области две неустойчивые точки: седло, расположенное на инвариантной замкнутой кривой и неустойчивая точка, расположенная внутри этой кривой, начинают сближаться. Затем они сливаются и исчезают, после чего на фазовой плоскости остается устойчивая единственная точка (узел), отвечающая за установившийся режим синхронизованных колебаний. Будем теперь снова увеличивать параметр расстройки. В некоторый момент мы обнаружим, что устойчивый узел превращается в фокус, соответствующие собственные числа линеаризованного уравнения становятся комплексными. Затем действительная часть пары комплексно сопряженных собственных чисел становится положительной, и это соответствует моменту бифуркации Андронова Хопфа: фокус становится неустойчивым, а в его окрестности рождается притягивающий предельный цикл. Пока этот предельный цикл «маленький» и не охватывает начало координат, основная частота в спектре колебаний по-прежнему совпадает с частотой воздействия, так что говорить о разрушении синхронизации пока еще рано. Но это уже другая разновидность синхронного режима, когда на фоне колебаний с частотой воздействия появляются колебания на другой частоте, выбираемой самой нашей автоколебательной системой. При дальнейшем увеличении расстройки наступает ситуация, когда предельный цикл охватывает начало координат, теперь основной частотой в спектре служит частота, порождаемая самой системой, и синхронизация отсутствует. Таким образом, граница области синхронизации в этом случае это линия на плоскости параметров, определяемая условием того, что предельный цикл проходит через начало координат. (Найти эту линию удается только

Рис Фазовая плоскость уравнения (18.6): (а) в отсутствие внешнего воздействия, (б), (в).(г) – при малом воздействии, соответственно, вдали границы языка синхронизации, вблизи границы, и внутри языка.

посредством численного интегрирования уравнений с подбором параметра для каждого заданного ε с тем, чтобы выполнялось указанное условие.) На рис. 4.3 воспроизведен вид плоскости параметров (,ε) для уравнения (6) и фазовые портреты в нескольких характерных точках. Они иллюстрируют два качественно разных механизма разрушения синхронизации через седло-узловую бифуркацию при малых амплитудах воздействия и через рождение режима модулированных колебаний при больших амплитудах. В узкой промежуточной области в районе ε 0.5 наблюдается сложная картина бифуркаций, выявляемая достаточно тонким двухпараметрическим анализом. Этой области мы в данном курсе касаться не будем, читатель может ознакомиться с соответствующими результатами, обратившись к специальной литературе (см., например, книгу Холмса и Гуккенхеймера).

Рис Вид плоскости параметров (, ε) для уравнения (6) и фазовые портреты в нескольких характерных точках, иллюстрирующие два качественно разных механизма разрушения синхронизации: при малых и больших амплитудах воздействия. Литература: 1)А.Пиковский, М.Розенблюм, Ю Куртс. Синхронизация- Фундаментальное нелинейное явление (2003) 2)А.П. Кузнецов. Нелинейные колебания 3)В.С. Анищенко., и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах (2003) 4)Байболатов Е. Ж. Стохастическая синхронизация автоколебательных систем. Диссертация на соискание академической степени доктора PhD. (2009) 5)Boccaletti S., Kurths J., Osipov G. et al. The synchronization of chaotic systems. Physics Reports, 366 (2002) 1. 6)Hramov A.E., Koronovskii A.A. Generalized synchronization: a modified system approach. Phys. Rev. E. 71 (2005)

Лекция 8. Синхронизация хаотических систем 1. Хаотические колебания

Пример: модель Лоренца

Лекция 8. Фазовая синхронизация хаотических систем Фаза и средняя частота хаотических автоколебаний

Лекция 9. Полная синхронизация хаотических систем 9.1 Полная синхронизация идентичных систем

Литература: 1. А.Пиковский, М.Розенблюм, Ю Куртс. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление (2003) 2.А.П. Кузнецов. Нелинейные колебания (2003) 3.В.С. Анищенко., и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах (2003) 4.В.С. Анищенко. Знакомство с нелинейной динамикой. (2008) 5. Boccaletti S., Kurths J., Osipov G. et al. The synchronization of chaotic systems. Physics Reports, 366 (2002) 1.

Лекция 10. Самоорганизация. Обобщенная синхронизация Одной из проблем физики открытых систем является определение режимов самоподобия и самоаффинности. Если число определяющих переменных больше единицы и коэффициенты подобия по этим переменным различные, то фрактальный объект называется самоаффинным. Если иерархические части фрактального объекта имеют одинаковые коэффициенты подобия по всем переменным, то объект называется самоподобным. Ранее в работе [1] были установлены значения нормированной энтропии, соответствующие самоподобным и самоаффинным состояниям хаотической системы. Также было показано, что из статистики Цаллиса, учитывающей неравновесность системы с некоторым свободным параметром, тоже следуют эти критерии при. Аннотация: Определены численные значения нормированной энтропии и информации, описывающие, соответственно, самоподобные и самоаффинные состояния динамической системы. Введена обобщенная метрическая характеристика, описывающая эволюцию системы к самоорганизации. Приведены примеры приложения теории к описанию динамического хаоса систем различной природы.

В работах [1, 2] были установлены информационно-энтропийные критерии самоподобия в виде неподвижных точек нормированных функций плотности распределения вероятности информации и энтропии – среднего значения информации: 10.1 Информационно-энтропийные критерии самоподобия и самоаффинности неравновесных статистических систем (1) Эти неподвижные точки являются единственными и устойчивыми, так как они являются также и пределами бесконечных отображений, соответствующим (1), при любых начальных значениях информации (2) Смысл чисел можно трактовать с различных точек зрения. Число является самоподобным значением нормированной информации: информация равна плотности вероятности своей реализации. По определению информации она рождается при нарушении симметрии (появление неоднородности) и вероятностном поведении процесса. Следовательно, самоподобие информации означает наличие самоаффинности процесса, объекта. Информационная энтропия является средним значением информации по плотности вероятности. Поэтому число является критерием самоподобия структурно-однородной хаотической системы. Более кратко мы назовем эти числа критериями самоаффинности и самоподобия. Самоаффинность (локальные свойства)

проявляется при грубом разрешении, когда масштаб измерения физической величины сравним с характерными величинами для системы. Самоподобие проявляется при достаточно тонком разрешении. Рис.1. Эволюция энтропии с изменением обобщенной метрической характеристики системы. Процессы: I шумоподобные, II самоподобные, III самоаффинные, IV неоднородные, V самоорганизованные. I IIV III IV

10.2 Обобщенная метрическая характеристика Информационная энтропия является метрической и топологической характеристикой. Чтобы количественно описать ее закономерности необходимо пользоваться еще другой, например, чисто метрической характеристикой. Обобщенная метрическая характеристика [2] следует из интегрального неравенства Гельдера для двух произвольных функций, который может быть записано в виде равенства через некоторый коэффициент. Обобщенная метрическая характеристика имеет вид: (3) где параметры p, q могут иметь смысл фрактальной размерности изучаемых объектов. При этом необходимо использовать значения фрактальных размерностей для самоафинных объектов. Соответствующие исследования были проведены нами ранее, была получена формула для размерностей самоаффинных фракталов. С учетом q самоаффинность характеризуется неподвижной точкой плотности распределения вероятности информации (4)

а самоподобие – неподвижной точкой информационной энтропии (5) Ниже приведена энтропийно-метрическая диаграмма для различных форм автоколебаний: от квазипериодических до хаотических колебаний. периодически возбуждаемый генератор Ван-дер-Поля Система уравнений Лоренца Генератор динамического хаоса с регулируемой структурой

Рис.2. Энтропийно - метрическая диаграмма o – генератор динамического хаоса, * – осциллятор Ван-дер-Поля, + – система Лоренца.

При самоорганизации нарушается симметрия, следовательно, искомый интервал самоорганизации лежит в области. Универсальность этих закономерностей подтверждают численный анализ системы уравнений автоколебательных систем, экспериментальных временных рядов хаотических систем. Предлагаемый метод можно рассматривать как алгоритм проверки наличия внешней и внутренней синхронизации по частоте, а в общем случае по произвольным измеримым физическим величинам, т.е. как критерий выявления обобщенной синхронизации. Литература 1. Жанабаев З.Ж. Квазиканоническое распределение Гиббса и масштабная инвариантность хаотических систем // Мат. 5-й Межд. конф. «Хаос и структ. в нелин. сист.», июня, Астана. – Ч.1. - С Жанабаев З.Ж. Обобщенная метрическая характеристика динамического хаоса / Материалы VIII Межд. школы «Хаотические автоколебания и образование структур» – Саратов, С Анищенко В.С., Астахов В.В. и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, с. 4. Жанабаев З.Ж., Тарасов С.Б. и др. Генератор сверхширокополосных хаотических сигналов с регулируемой базой./ Радиолокация, навигация, связь. Сборник докладов межд.н.-т. конф., Воронеж, С