{ решение уравнений математической физики – уравнение теплопроводности }

Решение дифференциального уравнения теплопроводности Одномерное дифференциальное уравнение теплопроводности x T 0 L T1T1 T2T2 T(x,0) = f(x) Граничные условия: T =T 1 при x = 0, T =T 2 при x = L Начальное распределение температуры: T(x,0) = f(x) Решение Сначала мы определим стационарное распределение температуры при заданных граничных условиях:

Решение дифференциального уравнения теплопроводности Нестационарное распределение температуры Нестационарное распределение температуры Введем новую переменную: y(x,t) = T(x,t) T 0 (x). Граничные условия для y(x,t) принимают вид: y(0,t) = y(L,t) = 0, начальное распределение записывается в форме y(x,0) = f(x) T 0 (x) = g(x). С учетом новых условий: Общее решение дифференциального уравнения ищется в форме тригонометрического ряда: Очевидно, что граничные условия y(0,t) = 0 и y(L,t) = 0 выполняются при любых значениях времени t > 0. Начальные условия для c n (t) имеют вид

Решение дифференциального уравнения теплопроводности Подставим последнее выражение в уравнение теплопроводности: Умножим обе части этого выражения на и интегрируем его на [ 0, L]. Используются соотношения ортогональности В результате получим

Решение дифференциального уравнения теплопроводности Решаем это дифференциальное уравнение и находим C m (t) Используем начальные условия: получим Решение уравнения теплопроводности выражается формулой: