Каникулярная школа курс Теория вероятностей Преподаватель Кузнецова Ольга Владимировна

2 Понятие вероятности является важным для анализа событий или явлений в природе и обществе, которые связаны со случайностью.

Творцы и их творения Какова вероятность, что обезьяна, набирающая на клавиатуре буквы, случайно напишет произведение Шекспира?

4 С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова « Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь ». А.Н.Колмогоров «Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого- либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».

5 Испытанием назовем эмпирические наблюдения, тестирование, проведение эксперимента. Пример испытания: подбрасывание игральной кости. В результате испытания получаем исходы. Пример исходов: - выпадение единицы - выпадение четного числа очков - выпадение не менее четырех очков

6 Элементарные исходы Элементарный исход испытания не может быть разделен на другие исходы. Пример. Исход «Выпадение четного числа» не является элементарным, поскольку может быть разделен на исходы «выпадение двойки», «выпадение четверки» и «выпадение шестерки». Эти три исхода являются элементарными. Выпало четное число очков Выпало четное число очков Выпало 2 Выпало 4 Выпало 6 Неэлементарный исход Элементарные исходы

7 Пространство элементарных исходов включает все элементарные исходы, которые могут произойти в результате испытания. Обозначение Пример. Пространство элементарных исходов: - {«1», «2», «3», «4», «5», «6»}.

8 Случайное событие Пространство элементарных исходов Событие А Случайное событие есть некоторое подмножество пространства элементарных исходов испытания. Обозначаем ожидаемое нами событие А.

9 Примеры случайных событий Случайное событие – некоторое подмножество пространства элементарных исходов испытания.

10 Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным. Пример: В мешке лежат три картофелины. Опыт – изъятие овоща из мешка. Достоверное событие – изъятие картофелины. Невозможное событие – изъятие кабачка. Классическое определение вероятности Пример: Учащийся для сдает ЕГЭ по математике. Опыт – учащийся решает задачи. Достоверное событие – учащийся решит задачи в количестве от 0 до 15 Невозможное событие –??

11 1. Достоверные события. 1) Наступление ночи каждые сутки. 2) Появление листьев на деревьях с приходом весны 3) Получение двойки за экзамен по математике, если вы за семестр набрали меньше 350 баллов 2. Невозможные события. 1)Если в кармане лежит только 100 рублей, событие, что вы вытащите из этого же кармана 1000 рублей 2) Превращение воды в лёд при нагревании 3. Случайные события. 1) Сдача экзамена с первого раза 2) Выпадение решки при бросании монеты 3) Опоздание преподавателя на лекцию

12 Два события, образующие полную группу называются противоположными. В – за одно выбрасывание выпал орел А – за одно выбрасывание выпала решка А и В – противоположные события Классическое определение вероятности

13 Классическое определение вероятности Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других. Событие А Событие B

14 Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - несовместны. 2) В результате двух выбрасываний выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз не исключает выпадение решки во второй Классическое определение вероятности

15 Классическое определение вероятности Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны. Элементарные исходы, образующие событие А, назовем благоприятными. Если мы ожидаем событие А, то появление любого элементарного исхода, образующего событие А, для нас является благоприятным. P.S. «Благоприятные» не значит «хорошие».

16 Классическое определение вероятности Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие. Примеры: 1) Опыт - выбрасывается монета. Выпадение орла и выпадение решки – равновозможные события. 2) В урне лежат три шара. Два белых и синий. Опыт – извлечение шара. События – извлекли синий шар и извлекли белый шар - не равно возможны. Появление белого шара имеет больше шансов. Вероятности равновозможных событий равны.

17 Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий m, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу n. Классическое определение вероятности Сумма вероятностей всех событий, входящих в полную группу равна 1. Пример: Опыт – один раз выбрасывается монета. А – выпал орел Р(А)=0,5 В – выпала решка Р(В)=0,5 Полная группа.

18 Свойства вероятности Вероятность достоверного события равна Вероятность невозможного события равна Вероятность случайного события

19 Вероятность – мера со шкалой от 0 до Невозможное событие Достоверное событие Вероятность выступает мерой для случайных событий. Каждому случайному событию ставится в соответствие одно единственное число от 0 до 1 включительно, которое называется вероятностью этого события.

20 Интерпретация вероятности 0 1 Невероятно Достоверно 0,5 50/50 Маловероятно Вероятно

21 1. Определить, что является элементарным событием (исходом) в данном случайном эксперименте (опыте) 2. Найти общее число элементарных событий (n), описать пространство элементарных исходов 3.Определить, какие элементарные события благоприятствуют интересующему нас событию А, найти их число (m) 4. Найти вероятность события А по формуле Р(А) = т/п Схема решения задач по классическому определение вероятности

22 Типы задач I. Задачи, где можно выписать все элементарные события эксперимента Задача 1. В случайном эксперименте подбрасывают симметричную монету. Какова вероятность выпадения решки? Решение ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ: - {орел, решка}= {0,1} A – {выпала решка}, А – {1} n =2 m=1 P=0,5

23 Задача 2. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность, что герб выпадет не менее двух раз? Имеется четыре элементарных исхода: - {Орел – Орел Орел - Решка Решка - Орел Решка – Решка} А = {Герб выпал не менее одного раза} n=4, m= 4 Его вероятность равна Р(А) = 3 / 4. I. Задачи, где можно выписать все элементарные события эксперимента

24 Пример Задача 3. Бросается игральная кость. Какова вероятность того, что число выпавших очков 1) меньше 3; 2) больше 2? - {1, 2, 3, 4, 5, 6} В = {число выпавших очков меньше 3} = {1 и 2} P(В) = 2/6 = 1/3 С = {число выпавших очков больше 2} С={3, 4, 5, 6} P(C) = 4/6 = 2/3

II.Задачи, где все элементарные события выписывать сложно, но можно подсчитать их количество. На соревнования по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании и 4 из Швейцарии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать спортсмен из Испании.

26 III.Использование формулы вероятности противоположного события. Р(Ā) +Р(А) =1 В среднем из 500 фонариков, поступивших в продажу, 5 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный фонарик окажется исправным.

Ответ: 0,25 Практикум

Ответ: 0,3

Ответ: 0,2 Ответ: 0,3

Ответ: 0,15 Ответ: 0,45

Ответ: 0,14

Ответ: 0,125

Ответ: 0,87

Ответ: 0,4

Ответ: 0,3125

Ответ: 0,25