М НОГОУГОЛЬНИКИ Учитель: Шарова Светлана Геннадьевна, МБОУ гимназия, г. Урюпинск, Волгоградская область 1 Учимся решать планиметрические задачи. Подготовка к ЕГЭ. Задание 16.

«Каждая решённая мною задача становилась образцом, который служил впоследствии для решения других задач»

Задача 1. В прямоугольнике ABCD опущен перпендикуляр BK на диагональ AC. Точки M и N – середины отрезков AK и CD соответственно. Докажите, что угол BMN – прямой. Решение. I способ Векторный метод A BC D M N K высота, проведенная из вершины прямого угла

A BC M N K D II способ. Векторный метод и подобие P CPN~AKB M – середина AK, значит, AM=MK=PC. Следовательно, MP=KC.

A B C M N K D P III способ Применение тригонометрии Убедимся, что Пусть ACB = ABK =α, CN =a, AB = 2a MP=KC, PN = 0,5BK ABK: ABC: BCN: BMK: BKC: MPN : BMN – прямой.

A B C M N K D P IV способ Тригонометрия и подобие Пусть ACB = ABK =α BKC: ABK: C=K = 90,BCN~BKM MBK = NBC = BCN~BKM Рассмотрим BMN и BKC MBN = +, CBK = + MBN =CBK, BMN ~BKC Значит,BMN =BKC = 90.

V способ. Подобие и вспомогательная окружность A B C M N K D BDC ~BAK Из условия следует, что BN и BM - медианы Эти отрезки служат соответственными элементами подобных треугольников. Отсюда, BMK~ BNC, BMC = BNC И точки M,N,C,B лежат на одной окружности. Её диаметр – медиана BN, так как BCN = 90 Таким образом, BMN = 90 (вписанный угол, опирающийся на диаметр ).

VI способ. Обратный ход A B C M K D P Предположим, что BMN - прямой, тогда 1) 2) 3) N 4) MP = KC, MK = PC Таким образом, -верно, т. к. PCN - прямоугольный

VII способ. Координатный метод A B C M K D P N x y - уравнение прямой AC BK AC (условие) Напишем уравнение прямой BK : Найдем координаты точки пересечения BK и AC M – середина AK Найдем угловые коэффициенты прямых BM и MN по формуле:

Задача 2 Точка E – середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и AC взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O. a)Докажите, что площади треугольников AOB и COE равны. b)Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 3, BC = 4. Решение. O A BC D E (у треугольников равны высоты, проведенные к общей стороне AE) Вычитая из равных площадей площадь треугольника AOE, приходим к тому, что и

O A BC D E 1) Пусть OE = x 3 4 AOE:O=90, AE=2. ABO: AB=3, ABE: 15 = cosA cosA=- Ответ:

Задача 3 В трапеции ABCD BC и AD – основания. Биссектриса угла A пересекает сторону CD в ее середине – точке P. a)Докажите, что BP - биссектриса угла ABC. b)Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что AP = 8, BP=6. Решение. D C B A P N Пусть N – середина AB, NPADBC 1=3(накрест лежащие) С учетом условия 1=2, получаем: 2=3, то есть ANP – равнобедренный. NPB – равнобедренный, 4=5 4=6 (накрест лежащие) Значит, 5= 6 BP - биссектриса

D C B A P N BN =NA=NP N – центр окружности, описанной около ABP. AB - диаметр окружности APB - прямой AP BC = F F CFP = DAP (по II признаку) ABP =FBP (по двум катетам) 6 8 Ответ: 48

Задача 4 В равнобедренной трапеции ABCD точки M и N- середины оснований BC и AD соответственно. Отрезки AM и BN пересекаются в точке P, а отрезки DM и CN пересекаются в точке K. a)Докажите, что площадь четырехугольника PMKN равна сумме площадей треугольников ABP и DCK. b)Найдите площадь четырехугольника PMKN, если известно, что BC = 8, AD = 18, AB=CD=13. Решение. A BC D M N PK (у треугольников равны высоты, проведенные к общей стороне BM) Вычитая из равных площадей приходим к тому, что Аналогично доказываем, что

A BC D M N PK H BPM~NPA PMK~AMD Ответ:

Задача 5. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOB и COD равны. a)Докажите, что точки A и D одинаково удалены от прямой BC. b)Найдите площадь треугольника AOB, если известно, что AB=13, BC = 10, CD=15, DA = 24. Решение. A N D KCB O Опустим перпендикуляры из точек A D на прямую BC: AN BC, DKBC Надо доказать, что AN=DK. Рассмотрим ABC и BCD ABC можно разбить на два треугольника: AOB и BOC BCD можно разбить на два треугольника: COD и BOC По свойству площадей: (по условию)

A N D KCB O H ANKD - прямоугольник ABCD - трапеция Пусть NB = x, NK=AD = 24, тогда CK = NK-NB-BC = 14-x ANB: DKC: Так как AN =DK, то приравняем правые части: AN = 12. Проведем BH AC. AOB и BOC имеют одинаковую высоту Пусть Ответ:

Задача 6 В четырехугольнике ABCD биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла A пересекает сторону в точке K. Известно, что AKCM – параллелограмм. a)Докажите, что ABCD – параллелограмм. b)Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK = 3, AM = 2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60. Решение A C D M KB По условию 1=2, 4=5 AKCM – параллелограмм, BC AD, 2=4 (противоположные углы), 3=4 (соответственные углы при параллельных прямых AK, CM. 1=2=3=4=5=6. 6 KC = AM, AK=CM ABK = CDM (по второму признаку)BK = MD. Итак, AD=BC, ADBC ( 2=3), а значит, ABCD – параллелограмм (по признаку параллелограмма)

A D M KB C O BK = AB =3, AM=KC=2, AD =5 ABO: ADO: (2) – (1): Ответ:

Спасибо за сотрудничество! 20