Преподаватель математики ГПОУ «СЦБТ» Копецкая М.Г.

напряжение, тревога, дискомфорт Неуверенность, что- то смущает спокойствие, уверенность, комфорт

Девиз урока: Думать - коллективно! Решать - оперативно! Отвечать - доказательно! Бороться - старательно! И открытия нас ждут обязательно!

Чтоб урок шел без запинки мы начнем его с разминки.

Правила нахождения производной

Таблица производных функций

Устные упражнения f(х) =0,001 f(х) =10 f(х) = -5 f(х) = 6 х f(х) = - 0,5 х f(х) = х 2 f(х) = 3 х 3 f(х) =0,001 f(х) =10 f(х) = -5 f(х) = 6 х f(х) = - 0,5 х f(х) = х 2 f(х) = 3 х 3 f(х) = 5 х 4 f(х) = 10 х 5 f(х) = ½х 2 f(х) = ¼ х 4 f(х) = 1,5 х 3 f(х) =4 х -3 f(х) =-½х -4 f(х) = 5 х 4 f(х) = 10 х 5 f(х) = ½х 2 f(х) = ¼ х 4 f(х) = 1,5 х 3 f(х) =4 х -3 f(х) =-½х -4

Обозначение Понятие или свойство Механическая интерпретация y'=0Производная обратилась в нуль. Точка Р остановилась (её скорость обратилась в нуль) y'>0Производная положительна. Скорость точки Р положительна (точка Р движется в положительном направления) y'<0Производная отрицательна. Скорость точки Р отрицательна (точка Р движется в отрицательном направлении) y"=0Вторая производная равна 0. Ускорение равно 0 y">0Вторая производная положительна. Ускорение положительно ( точка движется с увеличением ускорения в положительном направлении

Милиционер Подберезовиков преследует Деточкина, который украл автомобиль (вспомни героев фильма Э. Рязанова «Берегись автомобиля»).

Преследователь и преследуемый движутся по прямолинейному участку шоссе, но движение их происходит по разным законам. Деточкин едет по закону х = f(t), а Подберезовиков – по закону х = g(t). В пути они попадают в трудные ситуации, о чем мы узнаем по их поведению

f">0 g"=0 f=g=0 f =g' f'<0 g'>0 f'=g'=0 f ǂ g f'=g f"=g">0 У милиционера заглох мотор, и Деточкин легко уходит от преследователя Подберезовиков чинит на обочине мотоцикл, Деточкин остановился и дает дельные советы. Деточкин весело едет навстречу милиционеру Деточкин взял мотоцикл на прицеп и включил газ. Машина и мотоцикл мчатся на предельной (для данного участка дороги) скорости

f">0 g">0 f=g=0 f =g' f'<0 g'>0 f'=g'=0 f ǂ g f'=g f"=g">0 У милиционера заглох мотор, и Деточкин легко уходит от преследователя + Подберезовиков чинит на обочине мотоцикл, Деточкин остановился и дает дельные советы. + Деточкин весело едет навстречу милиционеру + Деточкин взял мотоцикл на прицеп и включил газ. + Машина и мотоцикл мчатся на предельной (для данного участка дороги) скорости +

Я с производной Функцию исследую: Максимум - минимум, - Точки экстремума. Где возрастает, а где убывает, - Все я про эту функцию знаю. Лишь производную верно найду, И живо исследование проведу. Я с производной Функцию исследую: Максимум - минимум, - Точки экстремума. Где возрастает, а где убывает, - Все я про эту функцию знаю. Лишь производную верно найду, И живо исследование проведу.

Производную считал я, Приравнял ее к нулю, Я на каждом промежутке Знак ее определю. Поделюсь с тобой ответом, Что узнать ты смог при этом? Производную считал я, Приравнял ее к нулю, Я на каждом промежутке Знак ее определю. Поделюсь с тобой ответом, Что узнать ты смог при этом?

Возрастание и убывание функции Иду в гору. Функция возрастает на промежутке[b;a] Иду под гору. Функция убывает на промежутке[a;с] 0 a bc x y

Функции дифференцируя, Получше мы их узнаем. Особые точки и линии По алгоритмам найдем. К нулю приравняй производную И знаки все верно расставь. Где «плюс», там, конечно, положено Функции той возрастать. Функции дифференцируя, Получше мы их узнаем. Особые точки и линии По алгоритмам найдем. К нулю приравняй производную И знаки все верно расставь. Где «плюс», там, конечно, положено Функции той возрастать.

Исследование функции на возрастание (убывание) f(x) дифференцируема на интервале (a;b)

Где знак производной меняется, В тех точках экстремумы есть. При построении графика Их тоже надо учесть Где знак производной меняется, В тех точках экстремумы есть. При построении графика Их тоже надо учесть

Признак максимума. Если функция f(x) – непрерывна в точке х 0 Признак минимума. Если функция f(x) – непрерывна в точке х 0 Исследование функции на экстремумы

x y a b y=f(x) точка максимума точка максимума точка минимума f(x) a b Графическая интерпретация 0 x

Девочка Лена на перемене Советы давала притихшему Гене: - Чтобы отличником стать, Иванов, МАКСИМУМ надо: терпенья, трудов, воли, усидчивости, прилежанья, ноченеспанья, тетрадкописанья... - А минимум можно? - Промямлил он Лене. -Минимум? Можно. МИНИМУМ лени!

Особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды. Пафнутий Львович Чебышев ( ) русский математик и механик, основоположник петербургской математической школы.

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего (оптимального) решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиться высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени- так ставятся вопросы, над которыми приходиться думать каждому члену общества

Тема урока:

1. Найдите наименьшее значение функции y = 3x 2 – 2x на отрезке [-4;0] Алгоритм 1. Найти f (x) у=6 х-6 х 2 2. Найти стационарные (f(x)=0) и критические точки (f(x) не существует) лежащие внутри отрезка [а;b] 6 х-6 х 2 =0 6 х(1-х)=0 х=0 или х=1 3. Вычислить значение функции на концах отрезка и в отобранных точках (см. п.2) у (-4)=316-2(-64)+1=177 у (0) = =1 4. Выбрать наименьшее значение (у min ) y min =1 Ответ: 1 Критических точек нет

Порешаем? 305 стр.158

Реши самостоятельно! 2. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [1;3] Ответ: 0 Проверь себя: у(1)=-1 у(3)=-3 у(2)=0

305 (б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(х) = х х на отрезке [0;3]. Решение: f´(х) = 4 х х = 4 х(х – 2)(х + 2), D(f´) = R. f´(х) = 0 при х = 0, х = 2, х = , 0, 2 - стационарные точки. -2 [0;3], 0 [0;3], 2 [0;3]. f(0) = - 9 f(2) = = наименьшее значение функции f(3) = – 9 = 0 - наибольшее значение функции Ответ: -25; 0. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(х) = х х на отрезке [0;3]. Решение: f´(х) = 4 х х = 4 х(х – 2)(х + 2), D(f´) = R. f´(х) = 0 при х = 0, х = 2, х = , 0, 2 - стационарные точки. -2 [0;3], 0 [0;3], 2 [0;3]. f(0) = - 9 f(2) = = наименьшее значение функции f(3) = – 9 = 0 - наибольшее значение функции Ответ: -25; 0.

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И.Лобачевский «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И.Лобачевский

Производная в физике

Мощность – это производная работы по времени P = A' (t).

Сила – есть производная работы по перемещению F = A' (x).

Сила тока – производная от заряда по времени I =q ' (t).

Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q' (t).

Давление – производная силы по площади P = F'(S)

Производная в химии

В химии производная характеризует скорость химической реакции.

Скорость химической реакции – один из решающий факторов, который нужно учитывать во многих областях научно- производственной деятельности. Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву..

Если количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: р(t) = t 2 /2 + 3t –3 (моль). То можно найти скорость химической реакции в любой момент времени t

Производная в географии При помощи производной можно вычислить прирост численности населения на ограниченной территории в момент времени t. Пусть у = у(t)- численность населения. Тогда прирост населения у= к у, где к – коэффициент прироста населения ; к = к р – к с (к р –коэффициент рождаемости, к с – коэффициент смертности) При помощи производной можно вычислить прирост численности населения на ограниченной территории в момент времени t. Пусть у = у(t)- численность населения. Тогда прирост населения у= к у, где к – коэффициент прироста населения ; к = к р – к с (к р –коэффициент рождаемости, к с – коэффициент смертности)

Применение производной в медицине Реакция организма на введенное лекарство выражается повышением кровяного давления, уменьшением температуры тела, изменением пульса и других физических показателей. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. При помощи производной можно определить при каком значении х (доза) реакция максимальна. Реакция организма на введенное лекарство выражается повышением кровяного давления, уменьшением температуры тела, изменением пульса и других физических показателей. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. При помощи производной можно определить при каком значении х (доза) реакция максимальна.

В биологии производная характеризует скорость размножения колонии микроорганизмов. Применение производной в биологии.

Применение производной в биологии По известной зависимости численности популяций х (t) с помощью производной можно определить относительный прирост в момент времени t Р = х( t ) По известной зависимости численности популяций х (t) с помощью производной можно определить относительный прирост в момент времени t Р = х( t )

Производная в экономике

В экономике часто используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект. Для решения такой задачи необходимо применение методов дифференциального исчисление.

В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? Также с помощью экстремума функции ( производной) в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск и минимальные издержки. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? Также с помощью экстремума функции ( производной) в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск и минимальные издержки.

Схема решения прикладных задач Задача переводиться на язык функции. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(x). Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее ее значение на некотором промежутке. Выясняется, какой практический смысл имеет полученный результат.

"Максимальный слив". Задача. Необходимо построить открытый желоб прямоугольного сечения для стока воды. Длина периметра поперечного сечения желоба должна равняться 6 м. Какой высоты должны быть стенки желоба, чтобы получился максимальный слив? "Максимальный слив". Задача. Необходимо построить открытый желоб прямоугольного сечения для стока воды. Длина периметра поперечного сечения желоба должна равняться 6 м. Какой высоты должны быть стенки желоба, чтобы получился максимальный слив?

Задача. Заготовленной плиткой нужно облицевать 6000 кв. м боковых стенок и дна желоба прямоугольного поперечного сечения длиной 1000 м. Каковы должны быть размеры сечения, чтобы пропускная способность желоба была наибольшей?

"Стоянка автомобилей". Задача. Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки? "Стоянка автомобилей". Задача. Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?

Задача. Для облицовки пола имеются много керамогранитных плиток светлого тона и мало керамогранитных плиток темного тона. Если керамогранитную плитку укладывать в форме прямоугольника, то его периметр будет равен 10 м. Какие размеры нужно выбрать для сторон прямоугольника, чтобы имеющимся количеством керамогранитной плитки темного тона ограничить небольшую поверхность.

Задача. Длина всех стен промышленного здания, включая перегородки (капитальные) составляет 90 м. В здании размещают 3 цеха ( 1, 2, 3) и коридор, длина которого в 5 раз больше ширины. Ширина цеха 3 относится к длине коридора как 3:5. Каковы должны быть размеры здания, чтобы сумма площадей трех цехов была наибольшей?

Задача. Для хранения строительных материалов нужно сделать временное хранилище в форме сварного каркаса, покрытого брезентом. Для изготовления каркаса, имеющего форму правильной четырехугольной призмы, имеется 36 метров арматурного стержня. Какую нужно выбрать длину, ширину, высоту каркаса, чтобы под навес уместилось как можно больше строительных материалов?

Обсуждая успехи своего студента, преподаватель так отозвался о нем: "Он очень мало знает, но у него положительная производная". Обсуждая успехи своего студента, преподаватель так отозвался о нем: "Он очень мало знает, но у него положительная производная".

Преподаватель хотел сказать, что скорость приращения знаний у студента положительная, а это есть залог того, что знания возрастут. Успехи в учебе - производная знаний. Преподаватель хотел сказать, что скорость приращения знаний у студента положительная, а это есть залог того, что знания возрастут. Успехи в учебе - производная знаний.

Фрагмент рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшему землю у башкир. - А цена какая будет?- говорит Пахом. - Цена у нас одно: 1000 рублей в день. Не понял Пахом. - Какая же эта мера – день? Сколько в ней десятин будет? - Мы этого, - говорит, - не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена 1000 рублей. Удивился Пахом. - Да ведь это, - говорит, - в день обойти земли много будет.

Засмеялся старшина. Вся твоя, - говорит. Только один уговор. Если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропади твои деньги. - А как же, говорит Пахом, - отметить, где я пройду? - А мы станем на место, где ты облюбуешь; мы стоять будем, а ты иди, делай круг, а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, на углах ямки рой, дернички клади; потом с ямки на ямку плугом пройдем. Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь, все твое.

Фигура, которая получилась у Пахома изображена на рисунке. Что за фигура? (прямоугольная трапеция) Найдем её периметр. Р= =40 км. Какова Площадь этой трапеции? Ребята, как вы думаете, наибольшую ли площадь получил Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму четырехугольника)?

Ну кто придумал эту математику ! У меня всё получилось !!! Надо решить ещё пару примеров.