Математическое моделирование. Численные методы и использование ЭВМ в решении прикладных задач Эмомов А.М

Введение Математическое моделирование и вычислительный эксперимент новое направление в научных исследованиях. Основные этапы решения прикладных задач с помощью ЭВМ. Математическая модель. Для решения прикладной задачи с помощью ЭВМ для реального объекта, процесса или системы должна быть построена математическая модель. Математическая модель в количественной форме с помощью математических соотношений описывает свойства. Появление ЭВМ дало мощный импульс еще более широкому внедрению численных методов в практику научных и технических расчетов. Скорость выполнения вычислительных операций выросла в миллионы раз, что позволило решить широкий круг математических задач, бывших до этого практически не решаемыми. Разработка и исследование вычислительных алгоритмов, их применение к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной математики – вычислительной математики. Вычислительная математика как самостоятельная математическая дисциплина сформировалась в начале двадцатого века. Эмомов А.М

Процесс мат. моделирования Систематизация Реальная ситуация Сбор данных Постановка задачи Физическая модель Декомпозиция Математическая модель Алгоритм Программа Тест Коррекция Прогноз Проверка адекватности Эмомов А.М

Математическая модель любого изучаемого явления, по причине его чрезвычайной сложности, должна охватывать важнейшие для рассматриваемой задачи стороны процесса, его существенные характеристики и формализованные связи, подлежащие учёту. Как правило, математическая модель изучаемого физического явления формулируется в виде уравнений математической физики. Чаще всего это нелинейные, многомерные системы уравнений, содержащие большое число неизвестных и параметров. Если математическая модель выбрана недостаточно тщательно, то какие бы мы не применяли методы для дальнейших расчётов, полученные результаты будут ненадежны, а в отдельных случаях и совершенно неверны. Формулировка математической модели явления Эмомов А.М

На этом этапе моделирования, в зависимости от сложности рассматриваемой модели, применяют различные подходы к её исследованию и различный смысл вкладывается в понятие решения задачи. Для наиболее грубых и несложных (относительно) моделей удаётся получить их аналитическое – общее – решение. Для более точных и сложных моделей основными методами решения являются численные методы решения с необходимостью требующие проведения большого объёма вычислений на ЭВМ. Эти методы позволяют добиться хорошего количественного и даже качественного результата в описании модели. Но, правда, у них есть и принципиальные недостатки – как правило, речь идёт о рассмотрении некоторого частного решения. Проведение математического исследования Эмомов А.М

Математическое исследование модели Аналитические методы Численные методы Численное решение на ЭВМ Аналитическое решение Символьные вычисления на ЭВМ Адекватность модели Эмомов А.М

Использование ЭВМ в процессе математического исследования модели требует специфических, численных методов, т.е. такой "интерпретации" математической модели, которая может быть реализована на ЭВМ - назовём её дискретной (или вычислительной) моделью. Поскольку ЭВМ выполняет только арифметические и логические операции, то для реализации вычислительной модели требуется разработка соответствующего вычислительного алгоритма, собственно программирование, расчет на ЭВМ, обработка результатов расчета. Математическое исследование модели Эмомов А.М

1. Математическая модель 2. Исходные данные 3. Приближенный метод 4. Погрешности вычислений Источники погрешности решения Эмомов А.М

Математические формулировки редко точно отражают реальные явления, обычно они дают лишь более или менее идеализированные модели. Как правило, при изучении тех или иных явлений мы вынуждены допустить некоторые упрощения, что и вызывает появление погрешностей решения 1. Погрешность мат. модели Эмомов А.М

Вызваны наличием в математических формулах числовых параметров, значения которых могут быть определены лишь приближенно. Это, например, все физические константы или экспериментальные результаты, используемые в модели 2. Погрешности исходных данных Эмомов А.М

Поскольку аналитически решить задачу невозможно, ее приходится заменять некоторой приближенной задачей, дающей близкие результаты. Например, интеграл заменяют суммой, производную – разностью, функцию – многочленом и т.д. Еще один источник – применение бесконечных итерационных процессов, принудительно прерываемых (например, sin x = x – x 3 /3!+x 5 /5! – …) 3. Погрешности метода Эмомов А.М

При вычислениях на ЭВМ неизбежны погрешности, связанные с ограниченностью разрядной сетки машины – погрешности округлений ( max = k, основание системы счисления) и с переводом чисел из одной системы счисления в другую 4. Погрешности вычислений Эмомов А.М

Современные компьютеры позволяют обрабатывать целые числа и числа с плавающей точкой. Множество целых чисел бесконечно, но из-за ограниченной разрядной сетки мы можем оперировать только с конечным подмножеством. При 4-х байтах на число диапазон доступных чисел составляет ~ от до Числа с плавающей точкой Эмомов А.М

При решении научно-технических задач в основном используются вещественные числа. Пример: Последняя запись – нормализованная форма числа с плавающей точкой. Общий вид: D = ±m. 10 n, m=0. d 1 d 2 … d k, d 1 0 m – мантисса, n – порядок числа Числа с плавающей точкой Эмомов А.М

Абсолютная погрешность – разность между истинным значением числа и приближенным. Если а – приближенное значение х: x = |a – x| Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к приближенному значению x = x/a Понятие погрешности Эмомов А.М

Очень часто истинное значение х неизвестно и приведенные выражения невозможно использовать. В этом случае используют верхнюю оценку модуля абсолютной погрешности, называемую предельной погрешностью а: x а В дальнейшем а принимается в качестве абсолютной погрешности Предельная погрешность Эмомов А.М

Округление до n значащих цифр – отбрасывание всех цифр справа от n-й 1. Если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся цифры остаются без изменения (8,3 8) 2. Если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре добавляется 1 (8,6 9) Правила округления Эмомов А.М

3. Если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных имеются ненулевые, то к последней оставшейся цифре добавляется 1 (8,501 9) 4. Если первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные – нули, то последняя оставшаяся остается неизменной, если она четная, и увеличивается, если нечетная (6,5 6, но 7,5 8) Правила округления Эмомов А.М

При применении правил округления погрешность не превосходит половины десятичного разряда последней оставленной цифры Правила округления Эмомов А.М

1. При сложении и вычитании чисел их абсолютные погрешности складываются: (a ± b) = a + b 2. При умножении и делении чисел их относительные погрешности складываются: (a. b) = a + b (a / b) = a + b 3. При возведении числа в степень его относительная погрешность умножается на показатель степени (a k ) = k a Действия над приближенными числами Эмомов А.М

a = 2520, b = 2518, a – b = 2 a = b = 0.5 a = 0.5/ (0.02%) b = 0.5/ (0.02%) Относительная погрешность разности (a b) = ( )/2 = 0.5 (50%) Пример Эмомов А.М

Избегать вычитания близких по значению чисел Применять правильный порядок вычислений Правильно использовать ряды для вычисления функций Уменьшение погрешностей Зависимость ( ) : 1 ln = d t f 1 – обычного стекла; 2 – стекла с пленкой; 3 – стекла с пленкой по внешней плоскости Эмомов А.М

S = =1393 Компьютер округляет после каждого сложения, поэтому законы коммутативности выполняются не всегда. При обратном порядке сложения получим S = = 1391 Порядок вычислений Эмомов А.М

sin x= x – x 3 /3!+x 5 /5! – … sin /6 (30º) = = 0.5 sin 13 /6 (360º+30º) = sin sin 49 /6 (4x360º+30º) = sin Использование рядов Эмомов А.М

Заключения Современные компьютерно-ориентированные численные методы должны удовлетворять многообразным и зачастую противоречивым требованиям. Обычно построение численного метода для заданной математической модели разбивается на два этапа: дискретизацию исходной математической задачи и разработку вычислительного алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретной задачи. Выделяют две группы требований к численным методам. Первая группа связана с адекватностью дискретной модели исходной математической задаче, вторая – с реализуемостью численного метода на имеющейся вычислительной технике. К первой группе относятся такие требования, как сходимость численного метода, выполнение дискретных аналогов законов сохранения, качественно правильное поведение решения дискретной задачи. Эмомов А.М

SDFСПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ Эмомов А.М