Числовые функции и их свойства
- это соответствие, при котором каждому элементу х из множества D по некоторому правилу сопоставляется определенное число у, зависящее от х. Обозначение: y = f(x) х у Независимая переменная или аргумент зависимая переменная или значение функции D(f) E(f) Область определения функции Область значения функции Числовая функция с областью определения D
Задание из ЕГЭ Найдите область определения функции. 4) 3) 2) 1)
Задание из ЕГЭ Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке. 4) 3) 2) 1)
-называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у=f(x), а х принадлежит области определения функции, Графиком функции f(x) У 0 х 0 х График функции у=f(x) У
Свойства функции Чётность функции Монотонность функции (возрастание и убывание функции) Периодичность функции Ограниченность функции Наименьшее и наибольшее значение функции Экстремумы и точки экстремумов Выпуклость функции Непрерывность функции
Чётность функции Функция y=f(x), называется чётной, если для любого значения х из области определения выполняется равенство f(-x)=f(x). Функция y=f(x), называется нечётной, если для любого значения х из области определения выполняется равенство f(-x)=-f(x).
График нечётной функции Примеры графиков чётной и нечетной функций График чётной функции
График чётной и нечётной функции График чётной функции симметричен относительно оси у. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Задание из ЕГЭ На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот рисунок. 1)2) 3)4)
Монотонность функции (Возрастание и убывание функции) Функцию у=f(x) называют возрастающей на множестве Х є D(f), если для любых точек х 1 и х 2 множества Х таких, что х 1 < х 2, выполняется неравенство: f(x 1 ) < f(x 2 ) Функцию у=f(x) называют убывающей на множестве Х є D(f), если для любых точек х 1 и х 2 множества Х таких, что х 1 < х 2, выполняется неравенство: f(x 1 ) > f(x 2 )
Удобнее использовать…. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Задание из ЕГЭ Укажите график функции, возрастающей на отрезке [ 3; 2]. 1) 2) 3) 4)
Периодичность функции Определение: Функцию у = f(x), х є Х называют периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого х из множества Х выполняется равенство f(x) = f(x+T) = f(x–T) Число Т называют периодом функции
Пример графика периодической функции: у х 0 Т
Как построить график периодической функции Если функция у=f(x) имеет период Т, то для построения графика функции нужно сначала построить ветвь (волну, часть) графика на любом промежутке длины Т, а затем сдвинуть эту ветвь по оси х вправо и влево на Т, 2Т, 3Т и т. д.
Задание из ЕГЭ
Ограниченность функции Функцию y=f(x) называют ограниченной снизу на множестве Х є D(f), если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа. (т.е. если существует число m такое, что для любого значения х є Х выполняется неравенство: f(x) > m. Функцию y=f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х є D(f), если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа. (т.е. если существует число M такое, что для любого значения х є Х выполняется неравенство: f(x)<M.
Примеры ограниченности функции
Наибольшее и наименьшее значение функции Число m называют наименьшим значением функции у=f(x) на множестве Х є D(f), если: 1) существует точка х o є Х такая, что f(х o )=m; 2) Для любого значения х є Х выполняется неравенство f(x)f(x o ) Число M называют наибольшим значением функции у=f(x) на множестве Х є D(f), если: 1) существует точка х o є Х такая, что f(х o )=M; 2) Для любого значения х є Х выполняется неравенство f(x)f(x o )
Наименьшее значение функции обозначают символом у наим, а наибольшее символом у наи 6. Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет о поиске наименьшего или наибольшего значения функции на всей области определения.
Выпуклость функции Функция выпукла вверх на промежутке X с Dif), если, соединив любые две точки ее графика с абсциссами из X отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка. Считается, что функция выпукла вниз на промежутке X с D(f), если, соединив любые две точки ее графика с абсциссами из X отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка
Непрерывность функции непрерывность функции на промежутке X означает, что график функции на данном промежутке не имеет точек разрыва (т. е. представляет собой сплошную линию). Замечание. На самом деле о непрерывности функции можно говорить только тогда, когда доказано, что функция является непрерывной. Но соответствующее определение сложное и нам пока не по силам (мы дадим его позднее, в § 26). То же самое можно сказать и о понятии выпуклости. Поэтому, обсуждая указанные два свойства функций, будем пока по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления.
Окрестность точки Окрестностью точки a называется любой интервал, содержащий эту точку. Например, интервал (2; 6) - это окрестность точки 3.
Точки экстремумов и экстремум функции. Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции. Определение. Точка x 0 называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x 0 выполняется неравенство f(x) f(x 0 ). Определение. Точка x 0 называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x 0 выполняется неравенство f(x) f(x 0 ).
Например:
Значение функции в этих точках соответственно называется максимумом или минимумом этой функции. Общее название - экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают x max, а точки минимума - x min.
Схема исследования функции 1 - Область определения 2 - четность (нечетность) 3 - наименьший положительный период 4 - промежутки возрастания и убывания 5 – точки экстремумов и экстремумы функции 6 – ограниченность функции 7 – непрерывность функции 8 - наибольшее и наименьшее значение функции 9 - Область значений 10 –выпуклость функции