Позиционные и непозиционные системы счисления Одно и то же число можно представить по-разному. Например, число четыре можно представить в виде слова четыре, изобразить его по-древнеримски – IV, или договориться, что число обозначается соответствующим количеством палочек – ||||. Способ представления чисел называется системой счисления. Системы счисления бывают двух видов – позиционные, в которых вклад каждой цифры в число зависит от ее номера разряда (позиции) в записи числа, и непозиционные – все остальные. Примером позиционной системы является общепринятая десятичная система, непозиционной – римская.

Представление целых неотрицательных чисел В позиционных системах значение записи целого числа определяется по следующему правилу: пусть a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 запись числа A, а i – цифры, тогда A = a n ·p n +a n-1 ·p n-1 +a n-2 ·p n a 1 ·p 1 + a 0 ·p 0 (1), где p целое число большее 1, которое называется основанием системы счисления. Для того, чтобы при заданном p любое неотрицательное целое число можно было бы записать по формуле (1) и притом единственным образом, числовые значения различных цифр должны быть различными целыми числами, принадлежащими отрезку от 0 до p-1. Пример: 1) Десятичная система p = 10 цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 число 3635 = 3· · · ·10 0 2) Троичная система p = 3 цифры: 0,1,2 число = 1·3 2 +2·3 1 +1·3 0 Замечание: нижним индексом в записи числа обозначается основание системы счисления, в которой записано число. Для десятичной системы счисления индекс можно не писать.

Представление отрицательных и дробных чисел Во всех позиционных системах для записи отрицательных чисел так же как и в десятичной системе используется знак –. Для отделения целой части числа от дробной используется запятая. Значение записи a n a n–1 a n–2 …a 1 a 0, a –1 a –2 …a m–2 a m–1 a m числа A определяется по формуле, являющейся обобщением формулы (1): A = a n ·p n +a n–1 ·p n–1 +a n–2 ·p n–2 +…+a 1 ·p 1 +a 0 ·p 0 +a –1 ·p –1 +a – 2 ·p –2 +…+a m–2 ·p –(m–2) +a m–1 ·p –(m–1) +a m p –m (2), Пример: 36,6 = 3· · ·10 –1 –3,214 5 = –(3·5 0 +2·5 –1 +1·5 –2 +4·5 –3 )

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную Следует понимать, что при переводе числа из одной системы счисления в другую количественное значение числа не изменяется, а меняется только форма записи числа, так же как при переводе названия числа, например, с русского языка на английский. Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную выполняется непосредственным вычислением по формуле (1) для целых и формуле (2) для дробных чисел. Перевод чисел из десятичной системы счисления в произвольную Перевести число из десятичной системы в систему с основанием p – значит найти коэффициенты в формуле (2). Иногда это легко сделать простым подбором. Например, пусть нужно перевести число 23,5 в восьмеричную систему. Нетрудно заметить, что 23,5 = ,5 = 2·8+7+4/8 = 2·8 1 +7·8 0 +4·8 –1 =27,4 8. Понятно, что не всегда ответ столь очевиден. В общем случае применяется способ перевода отдельно целой и дробной частей числа.

Для перевода целых чисел применяется следующий алгоритм (полученный на основании формулы (1)): 1. Найдем частное и остаток от деления числа на p. Остаток будет очередной цифрой a i (j=0,1,2 …) записи числа в новой системе счисления. 2. Если частное равно нулю, то перевод числа закончен, иначе применяем к частному пункт 1. Замечание 1. Цифры a i в записи числа нумеруются справа налево. Замечание 2. Если p>10, то необходимо ввести обозначения для цифр с числовыми значениями, большими или равными 10. Пример: Перевести число 165 в семеричную систему счисления. 165:7 = 23 (остаток 4) => a 0 = 4 23:7 = 3 (остаток 2) => a 1 = 2 3:7 = 0 (остаток 3) => a 2 = 3 Выпишем результат: a 2 a 1 a 0, т.е Выполнив проверку по формуле (1), убедимся в правильности перевода: =3·7 2 +2·7 1 +4·7 0 =3·49+2·7+4 = = 165.

Для перевода дробных частей чисел применяется алгоритм, полученный на основании формулы (2): 1. Умножим дробную часть числа на p. 2. Целая часть результата будет очередной цифрой a m (m = –1,–2, –3 …) записи числа в новой системе счисления. Если дробная часть результата равна нулю, то перевод числа закончен, иначе применяем к ней пункт 1. Замечание 1. Цифры a m в записи числа располагаются слева направо в порядке возрастания абсолютного значения m. Замечание 2. Обычно количество дробных разрядов в новой записи числа ограничивается заранее. Это позволяет выполнить приближенный перевод с заданной точностью. В случае бесконечных дробей такое ограничение обеспечивает конечность алгоритма. Пример 1: Перевести число 0,625 в двоичную систему счисления. 0,625·2 = 1,25 (целая часть 1) => a –1 =1 0,25·2 = 0,5 (целая часть 0) => a –2 = 0 0,5·2 = 1,00 (целая часть 1) => a –3 = 1 Итак, 0, = 0,101 2 Выполнив проверку по формуле (2), убедимся в правильности перевода: 0,101 2 =1·2 –1 +0·2 –2 +1·2 –3 =1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.

Пример 2: Перевести число 0,165 в четверичную систему счисления, ограничившись четырьмя четверичными разрядами. 0,165·4 = 0,66 (целая часть 0) => a –1 =0 0,66·4 = 2,64 (целая часть 2) => a –2 = 2 0,64·4 = 2,56 (целая часть 2) => a –3 = 2 0,56·4 = 2,24 (целая часть 2) => a –4 = 2 Итак, 0, » 0, Выполним обратный перевод, чтобы убедиться, что абсолютная погрешность не превышает 4 –4 : 0, = 0·4 –1 +2·4 –2 +2·4 –3 +2·4 –4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/128 = 21/128 = 0, |0, –0,165| = 0,00094 < 4 –4 = 0,

Перевод чисел в систему счисления с кратным основанием Пусть p и q – основания двух систем счисления. Будем называть эти системы системами счисления с кратными основаниями, если p = q n или q = p n, где n – натуральное число. (Так, например, системы счисления с основаниями 2 и 8 являются системами счисления с кратными основаниями.) Пусть p = q n и требуется перевести число из системы счисления с основанием q в систему счисления с основанием p. Разобьем целую и дробную части записи числа на группы по n последовательно записанных цифр влево и вправо от запятой. Если количество цифр в записи целой части числа не кратно n, то надо дописать слева соответствующее количество нулей. Если количество цифр в записи дробной части числа не кратно n, то нули дописываются справа. Каждая такая группа цифр числа в старой системе счисления будет соответствовать одной цифре числа в новой системе счисления. Пример: Переведем ,1112 в четверичную систему счисления. Дописав нули и выделив пары цифр, получим ,11102.

Теперь выполним перевод отдельно каждой пары цифр, пользуясь пунктом «Перевод чисел из одной произвольной системы в другую»: 01 2 =1 10 = =2 10 = =0 10 = =1 10 = =3 10 = =2 10 =2 4 Итак, ,111 2 = , = 1201,32 4. Пусть теперь требуется выполнить перевод из системы с большим основанием q, в систему с меньшим основанием p, т.е. q = p n. В этом случае одной цифре числа в старой системе счисления соответствует n цифр числа в новой системе счисления. Пример: Выполним проверку предыдущего перевода числа: 1201,32 4 = , = ,111 2 В таблице приведены значения цифр в наиболее часто используемых системах счисления.

Двоичная, восьмеричная, и шестнадцатеричная системы счисления. В какой системе счисления лучше записывать числа – это вопрос удобства и традиций. С технической точки зрения, в ЭВМ удобно использовать двоичную систему, так как в ней для записи числа используются только две цифры 0 и 1, которые можно представить двумя легко различимыми состояниями нет сигнала и есть сигнал. Человеку, напротив, неудобно иметь дело с двоичными записями чисел из-за того, что они более длинные, чем десятичные и в них много повторяющихся цифр. Поэтому, при необходимости работать с машинными представлениями чисел используют восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. Основания этих систем – целые степени двойки, и поэтому числа легко переводятся из этих систем в двоичную и обратно. В шестнадцатеричной системе есть цифры с числовыми значениями 10,11,12, 13,14,15. Для их обозначения используют первые шесть букв латинского алфавита. Приведем таблицу чисел от 0 до 16, записанных в системах счисления с основаниями 10, 2, 8 и 16.

Число в десятичн ой системе счислени я В восьмери чной В двоичной В шестнадц атерично й ABCDEF10

Для записи шестнадцатеричных цифр можно использовать также строчные латинские буквы a-f. Пример: Переведем число ,11 2 в шестнадцатеричную систему счисления. Воспользуемся кратностью оснований систем счисления 16=2 4 Сгруппируем цифры по четыре, дописав слева и справа нужное количество нулей , сверяясь с таблицей, получим: 1A9554,C 16