ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные повторяющиеся комбинации уровней независимых переменных, каждая из которых принудительно варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций N=2 n определяет тип планирования. Для гарантированного получения единственного решения системы нормальных уравнений необходимо иметь ортогональную матрицу планирования, что невозможно обеспечить в абсолютной системе единиц факторов X i, то есть тогда, когда факторы именованные (например, трудно представить 17 километров ортогональными к 12 килограммам). Поэтому необходимо провести предварительное преобразование каждого фактора - его перевод в систему относительных координат.

Такое преобразование легко сделать с помощью переноса начала координат в базовую точку X* и выбора единицы отсчета X i по каждой координате X i. Это дает возможность легко построить ортогональную матрицу планирования и значительно облегчает дальнейшие расчеты, так как в этом случае верхние и нижние уровни варьирования X iв и X iн в относительных единицах будут равны соответственно x iв = +1 и x iн = -1.

Матрица планирования должна отвечать следующим условиям: 1.Ортогональность: 2. Условие нормированности: 3. Симметричность относительно центра экстремума: 4. Ротатабельность, т.е. координаты точек факторного пространства в матрице планирования подстраиваются так, что точность предсказания значения параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента (базовой точки) и не зависит от направления.

Дробный факторный эксперимент При количестве факторов K>4 эффективность использования ПФЭ резко уменьшается Например, при К=5, для реализации ПФЭ необходимо поставить 32 опыта, а количество определяемых коэффициентов не превышает, как правило, 16, включая эффекты парного взаимодействия факторов «bJk» Рассматриваемый метод заключается в том, что для нахождения коэффициентов математической модели изучаемого процесса используются не планы ПФЭ, а некоторые их части Ѕ, ј и т.д. эти системы опытов называются дробными репликами. Опыта Факторы Др обные реплик и X1X1 X2X2 Х3Х /2 План ПФЭ и его дробные реплики

Рассмотрим метод ДФЭ на примере. Пусть необходимо найти математическое описание объекта исследования с тремя факторами в виде: Если использовать ПФЭ, то необходимо провести 8 опытов по плану, представленному в таблице. Однако эту же задачу можно решить и с помощью меньшего количества опытов. Например возьмем Ѕ дробную реплику ПФЭ при К=3 из таблицы, но третий вектор-столбец приравняем произвольно X1, X2. Такое преобразование возможно. Если предположить, что эффект парного взаимодействия факторов «b12» ничтожно мал и стремится к нулю.

В этом случае матрица планирования эксперимента имеет вид Опыта Факторы Параметры оптимизации X1X1 X2X y1 y2 y3 y4 Матрица планирования эксперимента а такой план будет считаться планов дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Равенство X3 = X1X2 называется генерирующем соотношением. Планы ДФЭ обозначаются символом 2 к-р, где р - число факторов., приравненных к произведениям.

С этой точки зрения рассматриваем план типа Если провести опыты и получить значения параметра оптимизации «Y1», то, применяя MNK и используя основные свойства матрицы планирования ДЗЭ, можно показать, что формулы для расчета коэффициентов регрессии примут вид /4.10…4.12/, как и в ПФЭ. В рассмотренном примере b0=1/4(y1+y2+y3+y4);=1/4(y1-y2+y3-y4);=1/4(y1+y2-y3-y4). Однако следует отметить, что так как вектор-столбцы Х3 и Х1Х2 полностью совпадают, то нельзя определить раздельно значение коэффициентов «b3» и «b12», а может быть найдена только их сумма +b12=I/4(y1-y2-y3+y4).

Этот недостаток рассматриваемых планов является своеобразной «платой» за уменьшение общего числа опытов с 8 до 4. Анализ полученных результатов при ДЭФ выполняется точно так же, как и при использовании планов ПФЭ. Единственное различие в том, что прежде чем приступить к расчету коэффициентов, необходимо определить как смешиваются их оценки и какие из них войдут в уравнение регрессии. Рассмотрим процедуру исследования с применением ДФЭ на конкретном примере.