Общие понятия и определения. Арка - система криволинейных стержней. К статически определимым системам относятся трехшарнирные арки, имеющие шарнирные опоры на краях и один промежуточный шарнир, чаще всего – центральный. Арка - система криволинейных стержней. К статически определимым системам относятся трехшарнирные арки, имеющие шарнирные опоры на краях и один промежуточный шарнир, чаще всего – центральный. Рис. 1

Пролет арки - расстояние между ее опорами L. Опору арки принято называть пятой арки, центральный шарнир - замком арки, а расстояние f от прямой, соединяющей опорные шарниры до замка арки - стрелой арки или стрелой подъема арки. Арки относятся к распорным системам, т.е. системам, в опорах которых, в отличие от безраспорных систем, при действии только вертикальной нагрузки возникает ненулевое горизонтальное усилие, называемое распором.

Инженер-строитель может столкнуться с необходимостью выбора между безраспорной системой (балкой) и распорной системой (аркой) для выполнения перекрытия некоторого пролета, например, мостового. При этом арку сопоставляют с соответствующей балкой, т.е. простой балкой на двух опорах, перекрывающей такой же пролет и находящейся под действием такой же вертикальной нагрузки, что и арка.

Частным случаем трехшарнирной арки является трехшарнирная арка с затяжкой. Затяжка - горизонтальный стержень, предназначенный для полного или частичного восприятия горизонтального распора. Рис. 2

Для того, чтобы система при наличии затяжки осталась статически определимой, одну опору арки делают катковой. В этом случае, при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки горизонтальные реакции в опорах будут равными нулю, а затяжка будет воспринимать распор полностью. При нагрузке определенного вида очертание арки можно задать таким, чтобы в ней не возникало изгибающих моментов. Эти арки называют арками рационального очертания.

Задание геометрии арки. При задании геометрии арки необходимо определить величины пролета L, стрелы f, и функцию y(x), описывающую очертание оси арки (рис.1). Для арки с затяжкой, кроме того, необходимо задать высоту над затяжкой f (рис.2). Задав значения L и f, мы определяем положение трех точек - опор и замка арки. Если дополнительно потребовать, чтобы ось арки была очерчена по окружности или по параболе, то положение этих трех точек однозначно определит функцию y(x), поскольку через три точки можно провести только одну окружность и только одну параболу.

При круговом очертании арки: При параболическом очертании арки: Угол α в этих уравнениях - угол наклона касательной к оси арки в данной точке. На левой половине арки, на правой -. Понятно, что ось арки может быть очерчена не только по параболе или окружности.

Статический расчет трехшарнирной арки. В принципиальном отношении расчет трехшарнирной арки не отличается от расчета других статически определимых систем: вначале определяются опорные реакции, затем строятся эпюры изгибающего момента, продольного и перерезывающего усилия, после - выполняются проверки и, при необходимости, определяются перемещения. Единственная особенность, с которой приходится сталкиваться - появление чисто вычислительных трудностей, связанных с криволинейностью очертания оси арки.

Реакции в опорах трехшарнирной арки находятся исключительно из статических уравнений (уравнений равновесия). Примем положительные направления реакций в опорах арки в соответствии с рис. 3. Рис. 3

Из условия равенства нулю суммы проекций всех действующих на систему сил на вертикальную ось имеем: где - сумма проекций всех действующих на арку внешних сил на вертикальную ось. В (3) внешняя сила считается положительной,если она направлена вниз. (3)

Далее, составим уравнение моментов всех действующих на систему сил относительно произвольной точки. Здесь в качестве точки, относительно которой будут вычисляться моменты, выберем точку А. Поскольку линии действия трех опорных реакций из четырех проходят через эту точку, в уравнении останется только одна неизвестная реакция - V B : (4)

где - суммарный момент действующих на систему внешних сил относительно точки А. В (4) он считается положительным, если направлен по часовой стрелке. Уравнений (3) и (4) достаточно, чтобы найти вертикальные реакции в опорах арки. Составив аналогичные уравнения для балки, соответствующей арке (рис. 3), мы увидим, что при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки эти уравнения совпадут с (3) и (4), а значит вертикальные реакции V A и V B в опорах арки и соответствующей ей балке будут одинаковыми.

Из условия равенства суммы проекций всех действующих на систему сил на горизонтальную ось имеем: (5) где - сумма проекций действующих на арку внешних сил на горизонтальную ось. В (5) внешняя сила считается положительной, если она направлена вправо. Четвертое уравнение - условие равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на систему с одной (любой - левой или правой) стороны от промежуточного шарнира относительно этого шарнира.

Рассмотрим, например, равновесие левой половины арки: (6) где - суммарный момент действующих на левую часть арки внешних сил относительно точки С. В (6) в качестве его положительного направления принято направление против часовой стрелки. При отсутствии горизонтальной составляющей внешней нагрузки горизонтальные реакции в опорах арки будут равны и направлены противоположно друг другу, что следует из уравнения (5):

Горизонтальное усилие H, возникающее в опорах, называется распором. Из уравнений (3)-(6) можно найти четыре неизвестные опорные реакции, после чего приступить к определению изгибающих моментов в сечениях арки. Рассмотрим сечение, находящееся на произвольном расстоянии х от левой опоры арки (рис. 3). Рассматривая равновесие части арки с одной стороны от данного сечения, найдем в нем изгибающий момент. Будем рассматривать часть арки слева от сечения. Тогда (7)

(8) где - изгибающий момент в рассматриваемом сечении, вызванный исключительно внешними силами, действующими слева от рассматриваемого сечения. При отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки вертикальные опорные реакции V A и V В в арке и в соответствующей ей балке будут одинаковыми, а горизонтальные реакции в опорах арки равны и противоположно направлены. Изгибающий момент в балке определяется по формуле

Сопоставляя последнюю формулу с (8), с учетом (7) получим: (9) Таким образом, при условии отсутствия горизонтальной составляющей нагрузки, зная распор в арке и изгибающий момент в любом сечении балки, соответствующей рассматриваемой арке, момент в этом же сечении арки можно найти и по формуле (9). Для определения продольного и перерезывающего усилий рассмотрим сечение в арке, отстоящее от левой опоры на произвольном расстоянии х (рис. 3).

Перерезывающее усилие в арке действует перпендикулярно ее оси в данном сечении, а продольное - вдоль ее оси в данном сечении (рис.4). Рис. 4 Обозначим сумму проекций всех внешних сил и реакций опор, действующих на рассматриваемую часть сечения, на вертикальную и горизонтальную оси соответственно.

Положительными направлениями этих сил будем считать такие направления, которые будут уравновешиваться положительными на оси арки (рис. 5). Составив уравнения равновесия сил, действующих на рассматриваемую часть сечения в осях, совпадающих с направлением действия (рис. 6) получим выражения для определения перерезывающего и продольного усилия:

При определении опорных реакций и распора в таких арках затяжку мысленно удаляют, заменяя ее действие на остальную часть конструкции усилиями H (рис. 7). Рис. 7

Далее составляют обычные уравнения равновесия, которые в этом случае примут вид: Если далее рассматривать распор в затяжке Н как одну из внешних нагрузок (рис. 7), то построение эпюр внутренних усилий можно выполнить аналогично арке без затяжки по формулам (8), (10) и (11).