Выполнила Ахметова И. Проверил

Непрерывную кривую, которую описывает точка в своем движении, называют траекторией точки

Если траектория точки является прямой линией, то движение точки называют прямолинейным

Если же траектория – кривая линия (не обязательно плоская), то движение точки называется криволинейным

Движение точки по отношению к выбранной системе координат считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени. Три способа задания движения точки: Векторный способ: Координатный способ: Естественный способ:

При векторном способе положение точки в пространстве определяется радиус-вектором, проводимым из какого-либо заданного центра Таким образом, траектория движения точки является геометрическим местом концов радиус-вектора движущейся точки. Равенство = называют законом или уравнением движения точки в векторной форме.

При координатном способе положение точки определяется координатами точки в выбранной системе координат. Наиболее часто используется прямоугольная декартова система координат Oxyz При движении точки М ее координаты изменяются с течением времени. Следовательно, координаты x,y,z движущейся точки М являются функциями времени, то есть: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Эти равенства называются законом или уравнениями движения точки в декартовых координатах.

Естественный способ задания положения и движения точки применяется в тех случаях, когда траектория движения точки заранее известна. На траектории выбирается некоторая неподвижная (относительно траектории) точка О, которая называется началом отсчета дуговой координаты (рис. 2.3). Положение движущейся точки М на траектории определяется дуговой координатой, то есть расстоянием OM=s, отложенным по траектории от начала отсчета О.

Скорость это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета (рис. 2.4). Направление вектора характеризует направление движения точки, модуль вектора – быстроту движения. Принято вектор скорости обозначать буквой. Очень важно помнить, что вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движения в данной точке.

При векторном способе задания движения точки скорость определяется как первая производная от радиус-вектора по времени При координатном способе задания движения точки ее скорость определяется как вектор Где единичные векторы (орты), определяющие направление осей координат, V x,V y,V z – проекции вектора скорости на координатные оси, причем где x,y,z – координаты точки М. To есть проекции вектора скорости на координатные оси равны первым производным по времени от соответствующих координат точки. Модуль скорости определяется формулой

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления скорости. В литературе принято вектор ускорения обозначать или. Про направление вектора ускорения относительно траектории движения точки достоверно можно сказать только то, что он всегда направлен в сторону вогнутости кривой траектории движения Размерность ускорения равна единицам измерения длины, деленным на единицу измерения времени в квадрате. Единицы измерения могут быть м/с 2, см/с 2 и т.д. В системе СИ единица измерения ускорения м/с 2.

При векторном способе задания движения ускорение точки определяется как первая производная от вектора скорости или вторая производная от радиус-вектора по времени: При координатном способе задания движения ускорение точки определяется как вектор:

Кинематика точки – изучает движение материальной точки, является базой для изучения движения точек твердого тела. Задание движения точки – необходимо иметь возможность определения положения точки в пространстве в любой момент времени (уравнения, геометрия механизма и известный закон движения ведущего звена). Траектория движения точки – совокупность положений точки в пространстве при ее движении. M O Задаются координаты положения точки. M O Задаются закон движения точки и траектория. M O Три способа задания движения точки: Векторный способ:Координатный способ: Естественный способ: Задается величина и направление радиуса-вектора. Все три способа задания эквивалентны и связаны между собой: 1. Векторный и координатный – соотношением: 2. Координатный и естественный – соотношением: dy 3. Для получения уравнения траектории движения необходимо из уравнений движения координатного способа исключить время, т.к. траектория не зависит от времени: Последние два уравнения представляют собой уравнения линейчатых поверхностей, линия пересечения которых и есть траектория движения точки. Например: Последние два уравнения представляют собой уравнения цилиндрической поверхности радиуса R c образующей, параллельной оси z, и плоской поверхности, параллельной координатной плоскости Oxy и смещенной по оси z на величину c. Линия пересечения этих поверхностей (окружность радиуса R) - траектория движения точки. 1

Скорость точки – величина, характеризующая быстроту изменения положения точки в пространстве. Три способа задания движения точки определяют способы определения скорости точки: Векторный способ: Сравним два положения точки в моменты времени t и t 1 = t + t: M O M1M1 - вектор средней скорости в интервале времени t, - вектор истинной скорости точки в момент времени t, направлен по касательной к траектории (при приближении M 1 к M хорда занимает положение касательной). Устремим t 0 и перейдем к пределу: Предел отношения приращения функции к приращению приращения аргумента есть производная функции (по определению): направлен по направлению вектора перемещения (хорде MM 1 ). Связь радиуса-вектора с координатами определяется выражением: M O Проекции скорости на оси координат: Представим радиус-вектор как сложную функцию: M O Представим производную радиус-вектора как предел: M1M1 Вектор приращения радиуса-вектора направлен по хорде MM 1 и в пределе занимает положение касательной. При s 0 радиус кривизны 1, угол между радиусами кривизны 0, числитель - - основание равнобедренного треугольника, знаменатель – длина круговой дуги радиуса. Таким образом, производная радиуса-вектора по дуговой координате есть единичный вектор, направленный по касательной к траектории. Вектор скорости равен: Проекция скорости на касательную: При вектор скорости направлен в сторону увеличения дуговой координаты, В противном случае – в обратную сторону. Величина производной радиуса-вектора по дуговой координате равна 1: Координатный способ: Естественный способ: Используем векторную форму определения скорости: Компоненты (составляющие) вектора скорости: 2

Ускорение точки – величина, характеризующая быстроту изменения скорости точки. Три способа задания движения точки определяют способы определения ускорения точки: Векторный способ: Сравним скорости точки в двух положениях точки в моменты времени t и t 1 = t + t: M O M1M1 - вектор среднего ускорения в интервале времени t, направлен в сторону вогнутости траектории. Переходя к пределу получаем: - вектор истинного ускорения точки в момент времени t, лежит в соприкасающейся плоскости (предельное положение плоскости, проведенной через касательную в точке M и прямую, параллельную касательной в точке M 1, при стремлении M 1 к M) и направлен в сторону вогнутости траектории. Координатный способ: Используем полученное векторное выражение и связь радиуса-вектора с координатами M O Проекции ускорения на оси координат: Компоненты (составляющие) вектора ускорения: Естественный способ: Используем векторное выражение для ускорения и выражение для скорости при естественной способе задания: M O M1M1 Величина производной единичного касательного вектора по дуговой координате: Представим единичный касательный вектор как сложную функцию: Производная единичного касательного вектора: При s 0 радиус кривизны 1, угол между радиусами кривизны 0, числитель - -основание равнобедренного треугольника, образованного единичными векторами 1 и, знаменатель – длина круговой дуги радиуса. Таким образом, производная единичного касательного вектора по дуговой координате есть вектор, направленный перпендикулярно касательной к траектории. Угол между приращением единичного вектора и самим вектором при 0, стремится к 90 о. Введем единичный вектор n, нормальный (перпендикулярный) к касательной, направленный к центру кривизны. С использованием вектора n и ранее определенных величин ускорение представляется как сумма векторов: Компоненты (составляющие) вектора ускорения: Проекции ускорения на оси и n: Таким образом полное ускорение точки есть векторная сумма двух ускорений: касательного, направленного по касательной к траектории в сторону увеличения дуговой координаты, если (в противном случае – в противоположную) и нормального ускорения, направленного по нормали к касательной в сторону центра кривизны (вогнутости траектории): Модуль полного ускорения: 3