Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. А В С Д АВСД – параллелограмм АВ || ДС; ВС || АД

Свойства параллелограмма 1. Теорема: В параллелограмме противоположные стороны и углы равны. АВ С Д Дано: АВСД – параллелограмм Доказать: АВ = СД; АД = ВС А = С; В = Д

Доказательство: Проведем диагональ ВД. Она разобьет наш параллелограмм на два треугольника. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 1= 2(накрест лежащие) 3= 4,ВД общая Из равенства треугольников следует равенство их элементов. АВ=СД АД=ВС, А= С и В= Д АВ С Д

2. Теорема: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Дано: АВСД – параллелограмм АС и ВД пересекаются в т. О Доказать: АО=ОС,ВО=ОД АВ С Д

АОВ= ДОС по стороне и двум прилежащим к ней углам 1= 2(накрест лежащие) 3= 4, АВ=ДС (свойство параллелограмма) Из равенства треугольников следует равенство его элементов Значит ОА=ОС, ОВ=ОД АВ С Д Доказательство:

Свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма 1. Теорема: Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм. АВ С Д Дано: АВСД – четырехугольник АВ||ДС,АВ=ДС Доказать: АВСД параллелограмм

Доказательство: Проведем диагональ ВД. Она разобьет наш параллелограмм на два треугольника. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. 1= 2(накрест лежащие)АВ||ДС и АВ=ДС,ВД общая Из равенства треугольников следует равенство их элементов. 4= 3,а они накрест лежащие, значит АД||ВС. АВСД параллелограмм по определению АВ С Д

2. Теорема: Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм. АВ С Д Дано: АВСД – четырехугольник АВ=ДС,АД=ВС Доказать: АВСД - параллелограмм

Доказательство: Проведем диагональ ВД. Она разобьет наш параллелограмм на два треугольника. Эти треугольники равны по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство их элементов 1= 2(накрест лежащие) АВ||ДС, 3= 4 и АД||ВС, значит АВСД параллелограмм по определению АВ С Д

3. Теорема: Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм. Дано: АВСД – четырехугольник АС и ВД диагонали. АО=ОС, ВО=ОД Доказать: АВСД - параллелограмм АВ С Д

АОВ = ДОС по двум сторонам и углу между ними АО=ОС,ВО=ОД 1= 2(вертикальные) Из равенства треугольников следует равенство его элементов Значит АВ=ДС, аналогично АД=ВС. АВСД параллелограмм согласно признаку Доказательство: АВ С Д

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны АД || ВС называются основаниями. АВ, СД – боковые стороны. А ВС Д

Если у трапеции боковые стороны равны, то она называется равнобедренной. У нее углы при основании равны. У нее диагонали равны. А В С Д

Если у трапеции один из углов прямой, то она называется прямоугольной. А ВС Д

Прямоугольник это параллелограмм у которого все углы прямые СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНИКА: 1. Противоположные стороны равны. 2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам

3. Теорема: Диагонали прямоугольника равны. АВ С Д Дано: АВСД прямоугольник. АС И ВД диагонали. Доказать: АС=ВД Доказательство:

Доказательство: АДС= ВДС по двум катетам. АД=ВС, ДС-общая. Из равенства треугольников следует равенство их элементов АС=ВДАВ С Д

Теорема (Признак прямоугольника) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник.

Дано: АВСД параллелограмм. АС=ВД- диагонали. Доказать, что АВСД прямоугольник Доказательство:АВ С Д

Доказательство: АДС= ВДС по трем сторонам. АД=ВС, АС=ВД ДС общая. Из равенства треугольников следует равенство их элементов. Значит 1= 2, а они односторонние и в сумме 180 Потому каждый по 90. Противоположные значит тоже по 90. АВСД прямоугольник по определению.АВ С Д

РОМБ -это параллелограмм у которого все стороны равны. 2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам СВОЙСТВА РОМБА: 1. Противоположные углы равны

3. Теорема: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Дано : АВСД- ромб. ВД и АС его диагонали Доказать: 1) ВД АС 2) ВД биссектриса В и Д АС биссектриса А и СВС А Д

Доказательство: АВС - равнобедренный с основанием АС ВО медиана, а значит биссектриса и высота. АСД – равнобедренный с основанием АС ДО медиана, а значит биссектриса и высота. ВД биссектриса В и Д, аналогично АС биссектриса А и С и ВД АСВС А Д О

КВАДРАТОМ называется прямоугольник у которого все стороны равны. Квадрат параллелограмм, прямоугольник, ромб. АВСД О 45 45

СВОЙСТВА КВАДРАТА: 1. Все стороны и углы равныАВСД

2. Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополамАВСД О

3. Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его угловАВСД О 45 45