ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Проблема: найти объем мороженицы

Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла

Алгебра Определенный интеграл определенным интегралом Если функция f(x) непрерывна на промежутке числовой оси, содержащей точки х=а и х=b, то разность значений F(b)-F(a) (где F(x) - первообразная f(x) на данном промежутке называется определенным интегралом от функции f(x) от a до b.

У х y=f(x) O Определение криволинейной трапеции Если функция y = f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b],тогда график кривой у=f(x) на [a; b], ось OX, прямые x = a, x = b образуют криволинейную трапецию. Рассмотрим тело, образованное вращением этой криволинейной трапеции вокруг оси OX и найдем его объем. ab Алгебра

Определение тела вращения Тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг её основания, называется телом вращения

У х y=f(x) O Разобьем отрезок [a;b] на n частей произвольным образом, через каждую точку деления проведем плоскость, перпендикулярную к оси ОХ и найдём площади полученных поперечных сечений. Любое поперечное сечение тела вращения – круг.

Построим на каждом промежутке цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси ОХ, а основанием является сечение - круг. Радиус круга равен значению функции в х с. Площадь этого круга – S(x) = π f 2 (x с ) Объём цилиндра – V=S(x) Δx y=f(x) f(x с ) y xсxс r

Объем каждого цилиндра с основанием S(x) и высотой Δx равен S(x) Δx, а объем всего ступенчатого тела равен сумме объёмов всех цилиндров.

Тогда объем тела вращения вокруг оси ОХ: Если тело образовано вращением криволинейной трапеции, образованной функцией у=f(x) на отрезке [a;b],вокруг оси ОХ, то его объём можно найти по формуле: Предел полученной интегральной суммы, при n равен определенному интегралу. x y=f(x) y

Замечание! Объем тела вращения вычисляется по одной из формул:,если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОХ., если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.

Алгоритм решения задач: Сделать приблизительный график заданных функций, ограничивающих плоскую фигуру, при вращении которой образуется тело вращения; Найти пределы интегрирования; Выяснить какой формулой удобно пользоваться в данном случае; Вычислить объем тела вращения.

Задача. Пусть тело образовано вращением параболы у=х 2 на отрезке [0;2] вокруг оси ОХ. Найдите объём тела вращения. у=х 2 у О х 2

Задача. Пусть тело образовано вращением функции у=0,5x на отрезке [0;4] вокруг оси ОХ. Найдите объём тела вращения. y O x4

Теперь, давайте, рассмотрим башню для радиостанции в Москве на Шаболовке, построенной по проекту русского инженера, почётного академика В. Г. Шухова. Она состоит из частей – гиперболоидов вращения. А спутниковые антенны состоят из параболоидов вращения

Задача. Пусть тело образовано вращением параболы у=х 2 на отрезке [0;4] вокруг оси ОУ. Найдите объём тела вращения.(параболоид) Найдите объём тела вращения.

Решение проблемы: Как найти объем мороженицы? Поверхность тела получена вращением фигуры, образованной графиками функций :

Решение:

Схема решения

Вычисление определённых интегралов

Итог урока: Я удивился …. Я умею … Я точно знаю, что …. Я запомнил …. Я понял …. Мне было ….

Домашнее задание: п.78, выучить основные формулы; 674, 675