ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Составила: М.П. Филиппова доцент кафедры высшей математики ИМИ СВФУ

План лекции: 1. Элементы теории множеств 2. Мера плоского множества 3. Отображение множеств 4. Метрические пространства

&1. Элементы теории множеств

Основные понятия Множество одно из основных понятий современной математики. Это понятие не сводится к другим понятиям и не определяется. Множество обозначают символом A = {x}, где x - общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в виде A = {a, b, c,...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями: N - множество всех натуральных чисел; Z - множество всех целых чисел; Q - множество всех рациональных чисел; R - множество всех действительных чисел; C - множество всех комплексных чисел; Z 0 - множество всех неотрицательных целых чисел.

Логические символы

Запись х А обозначает, что элемент х принадлежит множеству А, а запись х А – элемент х не принадлежит множеству А. Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то А называют подмножеством множества В и пишут А В или В А (в некоторых книгах пишут A B или B A). Если, условие А В не выполняется, то пишут A B. Если А В и В А, то множества А и В называют равными и пишут А = В (так будем доказывать равенство множеств). Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают. Любое множество содержит в качестве подмножества.

Объединение Объединение А В множеств А и В есть множество состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В.

Пример 1 Найти объединение множеств А={0, 1, 3, 8} и В={3, 7, 1}.

Решение

Пересечение Пересечение А В множеств А и В есть множество состоящее из тех и только тех элементов, принадлежащих обоим этим множествам.

ЗАМЕЧАНИЕ Если множества А и В не имеют общих элементов, т. е. если А В =, то эти множества называются дизъюнктными (непересекающимися).

Пример 2

Решение

Разность Разность А \ В множеств А и В есть множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

ЗАМЕЧАНИЕ Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементы, которых принадлежат одному и только одному из этих множеств. Обозначают симметрическую разность так А В. Ясно, что А В = (A \ B) (B \ A). Непосредственно из определения следует коммутативность операции : А В = В А. Если А X, то множество X \ А называют дополнением множества А до X. В случаях, когда X рассматривается как универсальное множество, то дополнение множества А обозначают как СА.

Пример 3 Найти разность А\В множеств А={1, 2, 3, 5, 7} и В={3, 5, 7, 9, 10}.

Решение

& 2. Мера плоского множества. Мера множества – математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка на прямой, площади плоской фигуры на плоскости и объема тела в трехмерном пространстве, на множества более общей природы.

Пример 4

Решение Мерой плоского множества в данном случае является значение площади треугольника АВС. Поэтому получаем

Пример 5

Решение Мерой плоского множества в данном случае является значение площади круга с радиусом R=2. Поэтому получаем

&3. Отображение множеств Рассмотрим два множества А и В. Если каждому элементу а множества А некоторым способом поставлен в соответствие один элемент b множества В, то говорят, что задано отображение множества А в множество В. Если а – элемент из А, то отвечающий ему элемент b = f (а) из В называется его образом (при отображении f). Совокупность всех тех элементов а из А, образом которых является данный элемент b N, называется прообразом элемента b и обозначается f -1 (b).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Множества А и В называются эквивалентными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. О множествах А и В в этом случае говорят, что они имеют одинаковую мощность. Таким образом, для бесконечных множеств слово «мощность» означают то же, что для конечных множеств «число элементов».

Диаграмма Венна

Пример 6

Решение

&4. Метрические пространства Метрическим пространством называется пара (X, ), состоящая из некоторого множества (пространства) X элементов (точек) и расстояния, т. е. однозначной, неотрицательной, действительной функции (х, у), определенной для любых х и у из X и подчиненной следующим трем аксиомам: 1) (х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у (аксиома тождества), 2) (х, у) = (у, х) (аксиома симметрии), 3) (х, z) (х, у) + (у, z) (аксиома треугольника). Само метрическое пространство, т. е. пару (X, ), обозначают как R = (X, ), или просто Х. Элементы метрического пространства будем называть также точками.

Примеры метрических пространств Множество упорядоченных групп из n действительных чисел х = (х 1, х 2,... х n ) называют линейным (векторным) n-мерным пространством.

Следующие три пространства являются частными случаями этого пространства, наиболее встречающиеся в практике.

Пример 7

Решение

Пример 8

Решение

Пример 9

Решение

Заключение N - множество всех натуральных чисел; R - множество всех действительных чисел; C - множество всех комплексных чисел; Мера множества – математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка на прямой, площади плоской фигуры на плоскости и объема тела в трехмерном пространстве, на множества более общей природы Если а – элемент из А, то отвечающий ему элемент b = f (а) из В называется его образом (при отображении f). Метрическим пространством называется пара (X, ), состоящая из некоторого множества (пространства) X элементов (точек) и расстояния