Виды методов решений задач Аналитические: Y=F(X) Численные : Y i ~ X i Конечно-разностные с начальными или граничными условиями. Аппроксимируют всю Область решения Конечно- Элементные с кусочными Аппроксимациями В каждом конечном Элементе по отдельности Приближенно аналитические: Например Y=ΣF(X) где сумма должна быть Заведомо конечной в бесконечном ряду. Или Y=F1(X) где F1~F Точное решение заменяется приближенной функцией

Виды задач Для тел с сосредоточенными параметрами Пример математического маятника Для тел с распределенными параметрами Каждый узел описывается ограниченным набором значений искомых величин Каждый узел описывается сколь угодно большим количеством искомых величин. Но их количество всегда конечно.

Аппроксимация и сходимость

Основное уравнение вычислительной математики - представление функции в виде ряда Тэйлора в окрестности точки. Оценки производных при помощи конечных разностей Погрешности производных при их конечноразностном представлении При аппроксимации разностями вперед или назад При аппроксимации Центральными разностями

Базисные функции для кусочной аппроксимации функций Основные требования Примеры базисных функций

Кусочное представление решений задач Условия сшивки В зависимости от вида базисных функций может понадобится большее количество условий. Тогда можно наложить еще условия на производные более высоких порядков

Глобальные и локальные координаты Глобальные координаты связаны с пространством или телом. Они едины для всего объекта. Локальные координаты связаны с элементом тела. Для каждого элемента они свои.

Вариационная формулировка метода конечных элементов В качестве примера рассмотрим задачу теплопроводности плоского квадрата. Уравнение задачи теплопроводности и граничные условия запишется в виде: Условия Дирихле Условия Нэймана Построим вариационную формулировку задачи Можно показать, что решение исходной задачи совпадает с функцией, минимизирующей следующий функционал: Граничные условия Нэймана для минимизирующей функции выполняются автоматически :

Разобьем область задачи на L треугольных областей конечных элементов Общее число узлов обозначим n, а число элементов l. По свойствам интегралов и по условиям сшивки на границах элементов можно записать: Здесь - элементарный вклад определяемый равенством: Выберем в качестве базисных - линейные функции. Рассмотрим элемент. Для упорядоченности номера узлов в нем будем перечислять в порядке обхода против часовой стрелки - i, j, k. Запишем: Для определения постоянных запишем эти уравнения в узлах i, j, k.

Решение системы 3-х алгебраических уравнений имеет решение, если ее определитель не равен 0. Т.е. - Решим систему уравнений (1) относительно коэффициентов. Получим: Здесь введены обозначения: Выражения для остальных постоянных могут быть получены из предыдущих выражений путем циклической перестановки индексов. Здесь и далее индекс элемента опущен для простоты. Подстановка (2) в выражение для даст (3).

Матрица базисных функций вектор-столбец узловых значений Выражение (3) можно переписать в виде: Здесь матрица базисных функций, а - вектор узловых значений искомой функции. Найдем производные в выражении для. Получим (4): Подставим (4) в выражение для. Получим (5): Т.к. в выражении (5) подынтегральная функция не зависит от x и y и с учетом (6) получим (7):

Элементарные вклады в суммируются в функционале и теперь мы имеем: Искомые узловые значения здесь рассматриваются как переменные которые мы можем определить исходя из условия минимума. Для этого потребуем равенства нулю всех производных вида : Ясно, что ненулевой вклад дадут только те элементы, которые содержат узел р.

Пример полученной матрицы задачи