«Нет такой нелепости, которую бы не изрекли философы». Цицерон - 2 * 2 = 4? - Это очевидно! -Не всегда очевидное является истиной. Я утверждаю, что 2 * 2 = 10!

И в небе и на земле сокрыто больше, «И в небе и на земле сокрыто больше, Чем снится вашей мудрости, Горацио» Шекспир

«Все вещи суть числа» Пифагор «Мысль выражать числа десятью знаками настолько простая, что трудно понять, насколько она удивительна...» П.С.Лаплас ( )

Мы привыкли считать и записывать числа

«У нас нет знаков для выражения неясных понятий.» Ж.Фурье Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Существуют системы позиционные и непозиционные В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием.

«Мыслю,следовательно,существую» Р.Декарт Страницы истории Цивилизация Ацтеков Ацтеков и майя Вавилонская цивилизация Египетская цивилизация Римская цивилизация

Глиняные таблички, найденные в Месопатамии с культурным центром - г.Вавилон. Около 1700 г. до н.э. Вавилонская система счисления : является комбинацией шестидесятеричной и десятичной систем с применением позиционного принципа; используется всего два символа для обозначения числа 1 и числа 10. шестидесятеричной системой пользуются до сих пор при измерении времени и углов

Система счисления египтян Иероглифическая система счисления имеет основание 10 и не является позиционной: для обозначения чисел 1, 10, 100 и т.д. в ней используются разные символы, каждый символ повторяется определенное число раз, и, чтобы прочитать число, нужно просуммировать значения всех символов, входящих в его запись. Таким образом, их порядок не играет роли, и они записываются либо горизонтально, либо вертикально.

Система счисления ацтеков и майя У ацтеков и майя, населявших американский континент и создавших там высокую культуру, почти полностью уничтоженную испанскими завоевателями в XVI - XVII в., была принята двадцатеричная система счисления. Та же система была принята у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со II тысячелетия до нашей эры.

Римская система счисления До нас дошла римская система записи чисел, которая в некоторых случаях применяется в нумерации (века, тома в собрании сочинений и др.). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы: I V X L C D M Эта система непозиционная. В ней цифры записываются слева направо. Если слева записана меньшая цифра, а справа - большая, то их значения вычитаются. Наоборот - складываются.

«Изучите азы науки, прежде чем взойти на её вершины» И. П. Павлов Многочисленные следы различных систем сохранились до нашего времени, однако, для выполнения вычислений мы всегда пользуемся десятичной системой

Системы счисления В позиционных системах счисления значение цифры зависит от её положения в числе, а в непозиционных - нет. позиционные непозиционные

Позиционные системы счисления Количество цифр в СС называется ее основанием. Позиция цифры в числе называется ее разрядом, а количество цифр в числе его разрядностью.

Десятичная система счисления Цифры 0,1,2,3,…9 Основание = 10 Разложим это число по степеням основания: – номера разрядов (разряды нумеруются справа налево от 0) = = Каждую цифру умножаем на основание (10) в степени равной разряду Например: 1221 – 4-х разрядное число. Вес единиц – 1000 и 1, вес двоек 200 и 20

Двоичная система счисления Цифры 0,1 Основание =2 Например: – 5-и разрядное двоичное число. Вес единиц – 1,2,4,8,16 справа налево

Двоичная система счисления – номера разрядов = = =17 Каждую цифру умножаем на основание (число 2) в степени = разряду, складываем произведения и получаем десятичный эквивалент двоичного числа =17

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами сложения, вычитания и умножения Сложение ВычитаниеУмножение = = 00 * 0 = = = 00 * 1 = = = 01 * 0 = = = 11 * 1 = 1 Операция умножения многоразрядных в двоичных чисел внутри ЭВМ сводится к операции сдвига и сложения.

Единица – вздор. Единица – ноль В. Маяковский Все фантастические возможности вычислительной техники реализуются путем создания разнообразных комбинаций сигналов высокого и низкого уровней. Единица условно обозначает включенное состояние, а ноль - выключенное состояние. Поэтому не будем недооценивать роль единицы и нуля, особенно, если речь идет о двоичной системе счисления.

Восьмеричная система счисления Цифры: 0,1,2,…,7 Основание = 8 Для перевода числа из 8-ричной СС в 10-ную разложим его по степеням основания (восьмерки) Например: =1·8 2 +2·8 1 +7·8 0 = =87

Шестнадцатеричная система счисления Цифры: 0,1,2,…,9,A,B,C,D,E,F Основание = 16 Для перевода числа из 16-ричной СС в 10-ную разложим его по степеням основания (16-ти). Например: А А =10· · ·16 0 = =2565 Обратный перевод: 2565 = А05 16

Три способа перевода чисел из одной системы счисления в другую Из любой сс в 10-ую Разложение по степеням основания Из 10-ой сс в любую Деление на основание (правило обратного перевода) Из 2 в 8 и 16- ричную Разбиение на триады и тетрады

Правило обратного перевода из десятичной СС в двоичную Целочисленное деление десятичного числа на 2 несколько раз, пока в частном не получится 1. Записать 1 и приписать к ней все остатки целочисленного деления в обратном порядке. Ответ: 13= Проверка разложением по степеням основания: – номера разрядов = = =8+4+1 = 13

Правило обратного перевода из десятичной СС в восьмеричную Целочисленное деление на 8 несколько раз пока в частном не получим цифру<8, затем записываем эту цифру и приписываем все остатки целочисленного деления в обратном порядке. Задание: перевести свой год рождения в 8-ричную систему счисления.

Пример перевода десятичного числа 1601 в восьмеричное: Ответ: 1601= Проверка: = = = =1601

10 сс 2 сс 8 сс 16 сс A B C D E F

Ответь на вопрос: сколько же будет 2*2? В двоичной, в троичной, в четверичной

Другие системы счисления В какой системе счисления 3+3=11? В 6-ричной В какой системе счисления 5+1=10? В 5-ричной Переведите число 2013 в десятичную СС 19 Переведите число 400 в тринадцатеричную СС 24А Так как 400:13=30 остаток А; 30:13=2 остаток 4 В 7-ричной В какой системе счисления 10-3=4?