НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Нормальное распределение Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса или Гаусса – Лапласа – распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, Интегральная функция распределения имеет вид совпадающей с функцией Гаусса: где m x – математическое ожидание случайной величины Х, σ x – среднеквадратическое отклонение(σ ² дисперсия) распределения. x случайная величина; y(x) вероятность принятия случайной величиной значения x; m x математическое ожидание; σ x среднее квадратичное отклонение.
Свойства функции f(x)
Нормализованное нормальное распределение Нормализованным нормальным распределением называется такое нормальное распределение, у которого m x = 0 и σ x = 1. Из нормализованного распределения можно получить любое другое нормальное распределение с заданными m x и σ x по формуле: z = m x + x · σ x. Функция нормального распределения имеет вид колокола. На рис. 1 показано нормализованное нормальное распределение. График на рис показывает, что в области –σ < x < σ на графике сосредоточено 68% площади распределения, в области – 2σ < x < 2σ на графике сосредоточено 95.4% площади распределения, в области –3σ < x < 3σ на графике сосредоточено 99.7% площади распределения («правило трех сигм»).
Свойства нормального распределения Изменение параметра нормального распределения m x приводит к сдвигу кривой по оси x (см.рис. 2). Рис. 2. Влияние параметра «математическое ожидание» на вид закона нормального распределения случайной величины х Изменение параметра нормального распределения σ x приводит к масштабированию формы по оси x (напоминаем, в любом случае всегда площадь под кривой плотности вероятности неизменна и равна 1). Чем более не случаен процесс, тем меньше его среднеквадратичное отклонение, тем уже и выше колокол на графике. Изменение параметра нормального распределения σ x приводит к масштабированию формы (см. рис. 3) по оси x (напоминаем, в любом случае всегда площадь под кривой плотности вероятности неизменна и равна 1). Рис. 3. Влияние параметра «среднеквадратичное отклонение» на вид закона нормального распределения случайной величины х
Чем более не случаен процесс, тем меньше его среднеквадратичное отклонение, тем уже и выше колокол на графике. Действительно, разброс случайности относительно математического ожидания становится все более минимальным. В пределе детерминированный процесс имеет вид, показанный на рис. 4. Рис. 4. Вид закона нормального распределения вероятности при переходе его к детерминированному случаю в пределе (σ x = 0). Случайное событие становится детерминированным: x = m x ± 0 (разброса нет) Изучать детерминированные процессы проще. Чем больше величина σ x, тем менее закономерно поведение изучаемого объекта, так как возможны любые значения характеризующих его параметров, разброс величин относительно средней ожидаемой увеличивается. Прогнозирование и управление поведением объекта в этом случае затрудняется.
Рассмотрим вид интегральной кривой плотности распределения случайной величины, распределенной по нормального закону. Вид ее приведен на рис. 5. F интегральная функция Лапласа. Смысл интегральной функции вероятность того, что случайная величина примет значения из диапазона от – до x. Например, запись F(170) = 0.5 для нашего примера означает: вероятность того, что случайно выбранный из аудитории человек будет ростом не выше 170 см, составляет 0.5 (то есть каждый второй). Данная функция задана интегралом от плотности вероятности нормального распределения: К сожалению, этот интеграл не берется в общем виде, поэтому функция Лапласа задана в виде таблицы для m x = 0 и σ x = 1. Поскольку функция Лапласа симметрична относительно точки(x = 0, y = 0.5) (как и функция самого нормального распределения), F(–x) = 1 – F(x), то в таблице содержится только одна из ее симметричных частей. Если задается интервал интегрирования функции Лапласа [a; b], то: Вероятность попадания X в интервал, симметричный относительно m x : Рис. 5. Вид интегральной функции Лапласа F(x)
Вычисление вероятности заданного отклонения Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа d, т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства |ха|<d. Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством: Тогда получим: Приняв во внимание равенство: функция Лапласанечетная), окончательно имеем Вероятность заданного отклонения равна: На рисунке наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а = 0, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (-d,d),больше у той величины, которая имеет меньшее значение d. Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра s.
Правило трех сигм Преобразуем формулу: Введем обозначение: Тогда получим: Если t=3, то т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027=1- 0,9973. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.
Показательное распределение Интегральная и дифференциальная функции распределения. Определение: Непрерывная случайная величина X, функция плотности которой задается выражением называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение. Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению. Как видно из формулы, показательное распределение определяется только одним параметром m. Найдем функцию распределения показательного закона, используя свойства дифференциальной функции распределения: Графики дифференциальной и интегральной функций показательного распределения имеют вид:
Числовые характеристики Используя формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения нетрудно убедится, что для показательного распределения Таким образом, для показательного распределения характерно, что среднее квадратическое отклонение численно равно математическому ожиданию. Найдем вероятность попадания СВ в интервал (a,b):
Закон больших чисел Неравенство Маркова Если случайная величина X принимает неотрицательные значения и имеет конечное математическое ожидание M (X ), то для любого 0 выполняется неравенство Маркова. Очевидно, данное неравенство равносильно следующему: Пример. Известно, что среднее число дождливых дней в году в данном городе равно 80. Оценить вероятность того, что в этом городе будет менее 100 дождливых дней в году. Решение. Пусть случайная величина X – число дождливых дней в году в данном городе. По условию M (X ) 80. Используя неравенство Маркова, получим оценку
Неравенство Чебышева Если случайная величина X имеет конечное математическое ожидание M (X ) и конечную дисперсию D(X ), то для любого 0 выполняется неравенство Чебышева: На практике неравенство Чебышева дает довольно грубую оценку. При большой дисперсии ( 2 D(X) ) оно показывает, что вероятность больше нуля, а это и так известно. Однако оно часто используется для получения новых теоретических результатов. Пример. Оценить вероятность, с которой выполняется правило «трех сигм». Решение. Используя неравенство Чебышева, получим
Теорема Чебышева будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико. Другими словами, в условиях теоремы В этой теореме предполагалось, что случайные величины,,...,,... X1 X2 Xn могут иметь различные математические ожидания. На практике часто встречается случай, когда они имеют одинаковые математические ожидания. Если дисперсии их равномерно ограничены, то применима теорема Чебышева.
Теорема Бернулли Пусть производится последовательность независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие А, причем вероятность наступления этого события одна и та же при каждом испытании и равна р. Если событие А фактически произошло m раз в n испытаниях, то отношение m/n называют, как мы знаем, частотой появления события А. Частота есть случайная величина, причем вероятность того, что частота принимает значение m/n, выражается по формуле Бернулли : Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е. иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А).
Доказательство теоремы Бернулли: Рассмотрим случайную величину Так как M(m)=np и D(m)=npq, то Применим к случайной величине вторую лемму Чебышева: Переходя к пределу при, очевидно, имеем
ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА И ЛАПЛАСА Теорема Ляпунова. Часто приходится иметь дело с такими случайными величинами, которые являются суммами большого числа независимых случайных величин. При некоторых весьма общих условиях оказывается, что эта сумма имеет распределение, близкое к нормальному, хотя каждое из слагаемых может не подчиняться нормальному закону распределения вероятностей. Эти условия были найдены Ляпуновым * и составляют содержание теоремы, названной его именем. Приведем без доказательства только следствие из теоремы Ляпунова. Пусть последовательность попарно независимых. случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями, причем эти величины обладают следующими двумя свойствами: 1) Существует такое число L, что для любого i имеет место неравенство значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий; Сумма неограниченно растет при Тогда при достаточно большом n сумма имеет распределение, близкое к нормальному.
Интегральная теорема Лапласа Теорема. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность наступления события А одна и та же и равна. Пусть m - число появления события A в n опытах. Тогда для достаточно больших n случайная величина m имеет распределение, близкое к нормальному с параметрами a=M(m)=np, Доказательство. Пусть - число наступления события A в i-м опыте. Тогда,. Так как может принимать только два значения 0 и 1, то для любого i имеем. Кроме того, величина стремится к бесконечности при. Итак, последовательность случайных величин удовлетворяет условиям следствия из теоремы Ляпунова. Поэтому сумма этих величин достаточно больших n имеет распределение, близкое к нормальному, что и требовалось доказать. Вычислим вероятность того, что случайная величина m, т. е. число наступлений события А в n опытах, удовлетворяет неравенствам, где x1 и x2 - данные числа. Так как a=M(m)=np,. То согласно формуле получим где Ф(х) - интеграл вероятностей.
Конец презентаций. Спасибо за внимание я так старался))