Лекция 3 Основные понятия теории вероятности. Опыт Событие Переменная величина. - презентация

1 Лекция 3 Основные понятия теории вероятности

2 Опыт Событие Переменная величина

3 Определение. Под опытом понимается воспроизведение некоторого комплекса условий. При этом предполагается, что опыт может быть повторен сколько угодно раз Пример 1. Экономический объект – рынок подержанных автомобилей Опыт – продажа конкретного автомобиля Комплекс условий: наличие автомобилей, покупателей и сделок купли продажи Данные условия можно повторить много раз Пример 2. Бросание игрального кубика Опыт- бросок Комплекс условий- наличие кубика и игроков Пример 3. Объект- элементарная макромодель Кейнса: С=a 0 + a 1 Y + U Y= C + I Опыт- функционирование экономики Комплекс условий- наличие инвесторов и потребителей

4 Определение. Пусть имеется некоторый опыт Событие, связанное с этим опытом, называется любой его исход. При этом событие называется случайным, если оно может появиться или не появиться в данном опыте Обозначение: D: (описание события) Пример 1. Опыт-продажа подержанных автомобилей Случайное событие- продажа 3-х летнего автомобиля за 0.5 цены. Это событие может появиться, а может и не появиться при повторении опыта. Пример 2. Опыт-бросание игрального кубика События: A: (Выпадение четного числа) B: (Выпадение шестерки)

5 Мерилом возможности появления события A: в данном опыте служит вероятность появления этого события в опыте Определение. Пусть А- случайное событие, связанное с некоторым опытом Предположим, что опыт повторен n раз, в итоге событие А появилось в опытах n a раз Тогда дробь n a /n называется относительной частотой появления события А в опытах, а вероятность P(A) появления события А определяется как предел этой дроби при многократном повторении опыта: (3.1)

6 1. Вероятность события приближенно равна относительной частоте появления события: P(A)n A /n 2. Из определения следует, что область определения P(A) – интервал (0, 1) Замечание. Иногда вероятность случайного события можно определить априори не прибегая к испытаниям Например, опыт с игральным кубиком, вероятность появления любого числа из набора ( ) одинакова и равна 1/6.

7 Определение. Пусть R событие, связанное с некоторым опытом, которое всегда появляется при его повторении, т.е P(R)1. Тогда событие R называется достоверным событием Определение. Пусть I событие, связанное с некоторым опытом, которое никогда не появляется при его повторении, т.е P(I)0. Тогда событие I называется невозможным событием Пример. Опыт - бросание игральной кости: выпадение любого числа из набора ( ) – событие достоверное выпадение числа 7 – событие невозможное

8 Определение. Событие V, связанное с некоторым опытом, называется «практически достоверным», если вероятность его появления удовлетворяет условию: 0.95P(V)1 Любое случайное событие W, связанное с опытом, вероятность которого 0

9 Определение. Пусть А и В два события, связанные с опытом, причем Р(А)>0. Проведено такое количество опытов N, при котором N a >0 (количество появлений события А). Пусть N ab количество опытов, в которых событие В появилось вместе с событием А Отношение N ab /N a называют относительной частотой появления события В при условии появления события А Условная вероятность появления события В есть: Свойства: P(A|B) N ab /N a 0 P(A|B) 1 ( (3.2)

10 Разделив числитель и знаменатель (3.2) на N, получим: (3.3) где P(AB) – вероятность появления одновременно событий А и В в N опытах Пример с кубиком. А:(четное число), В:(число 6) P(A)=1/2, P(B)=1/6. Тогда P(B|A)=(1/6)/(1/2)=1/3 Событие В совпадает с событием АB, след. P(AB)=P(B)=1/6. Отметим, Р(В)Р(В|А) Р(В) = Р(В|А) – условие независимости событий

11 Теорема. Если события А 1, А 2,…, А n суть независимые события, то для них справедливо равенство: Р(А 1, А 2,…, А n )=Р(А 1 )Р(А 2 )…Р(А n ) где: Р(А 1 )Р(А 2 )…Р(А n ) – вероятности появления каждого события Пример. Бросание двух кубиков. Событие А:(появление 6 на кубе 1) Событие В:(появление 6 на кубе 2) Р(А)=1/6, Р(В)=1/6 Вероятность появление двух чисел 6 одновременно: Р(АВ)=Р(А)Р(В)=(1/6)(1/6)=1/36

12 Определение. Пусть задано множество значений А х {t 1,t 2,…t n }. Тогда величина Х называется переменной, если она может принимать любые значения из множества А х, а множество А х называется областью допустимых значений или областью определения Х Если А х состоит из набора значений, которые можно пронумеровать (счетное множество), то Х – дискретная переменная Если А х представляет собой отрезок или интервал на числовой оси, то такая переменная называется непрерывной

13 Определение. Дискретная переменная Х с множеством допустимых значений А х называется случайной, если все ее возможные значения появляются в некотором опыте со случайными исходами А:(x=t) и если для нее задан закон распределения вероятностей Первое свойство объединяет все случайные переменные Второе свойство – обеспечивает индивидуальность каждой случайной переменной

14 Определение. Законом распределения дискретной случайной величины Х называется функция P x (t), определенная на всей числовой оси, значения которой характеризуют вероятность появления в данном опыте события В:(x=t), и определяется по правилу: где: Р(х=t) вероятность события В:(x=t) Закон распределения ДСП называют вероятностной функцией

15 Пример 1. Бросание кубика Ax={1,2,3,4,5,6} – область определения X- цифра на верхней грани (СДП) Закон распределения – Пример равновероятного закона распределения Графическое представление равновероятного закона распределения

16 Пример 2. Бросание одновременно двух кубиков X-сумма чисел на верхних гранях кубиков A x ={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} - область определения Закон распределения Х имеет вид Каждый столбец - суть вероятность появления в опытах соответствующего значения переменной Х

17 В случае, когда Х непрерывная случайная переменная, ее закон распределения вероятностей выражается с помощью функции плотности вероятностей, который по определению есть: где: P(txt+Δt) – вероятность того, что случайная переменная Х примет в опыте значение, лежащее в интервале (t, t+Δt)

18 1. Функция плотности вероятности неотрицательна p x (t)0 2. Вероятность попадания СВ х на отрезок [a, b] есть: 3 3. Функция распределения вероятностей связана с функцией плотности вероятностей выражением: 4. Справедливо равенство:

19 1. Закон равномерного распределения Х на отрезке [a, b] ab 1/(b-a) pxpx График функции плотности вероятности – отрезок прямой параллельной оси Х внутри отрезка [a,b] и ноль вне его Х

20 2. Нормальный закон распределения Гаусса где a и s –параметры закона распределения. Именно, с помощью значений этих параметров удается персонифицировать различные случайные переменные, подчиняющиеся нормальному закону распределения

21 Выводы : 1. В основе лежат понятия объект, событие, переменная 2. Случайная переменная есть результат некоторого события 3. Случайные переменные задаются с помощью области определения и закона распределения вероятностей ( ДСП ) или функции плотности вероятностей ( НСП )